Esta función debe estar abierto si estos puntos son aislados

Question

Deje $U\subset \mathbb R^m$ ser un abrir y $f:U\to \mathbb R^m$ ser una función de la clase de $C^1$.

Si los puntos donde el determinante de la Matriz Jacobiana de $f$ es cero son aisladas y $m>1$, ¿cómo puedo probar esta función debe estar abierto?

Ni siquiera sé cómo empezar, necesito algunos consejos.

Answer 1

Lo que le falta es la noción de grado de un mapa. Usted puede comenzar por la lectura de este artículo de la wikipedia (sólo necesita la sección sobre el grado de mapas a partir de una región cerrada), a continuación, echa un vistazo a las referencias que de la lista. Pero la mejor referencia sé que es "Topología Diferencial" por Guillemin y Pollack (no en la lista de wikipedia).

La instalación es que usted tiene dos orientado suave colectores $M, N$ de la dimensión de $m$ donde $M$ posiblemente tiene límite, mientras que $N$ ha vacío límite. Supongamos que $f: M\to N$ $C^1$- suave correspondientes del mapa (medios adecuados que preimages de los pactos compacto). El grado $deg_f(y)$ está definido por $y\in N - f(\partial M)$. En el caso de $y$ es un valor regular de $f$, $$ deg_f(y)=\sum_{x\in f^{-1}(y)} (\pm 1), $$ donde $1$ al $df: T_xM\to T_yN$ es de la orientación de la preservación y $-1$ lo contrario. En particular, si $f$ preserva orientación (en sus puntos regulares) y $y$, como en el anterior es un valor regular, a continuación, $deg_f(y)$ es la cardinalidad de a $f^{-1}(y)$. Una propiedad importante de grado es que es localmente constante, en particular, es constante en cada uno de los componentes de $N -f(\partial M)$.

Teniendo en cuenta todo esto, aquí es una prueba de la afirmación de que usted está después. Basta considerar el caso cuando se $U$ está conectado. Tenga en cuenta que el conjunto de puntos críticos de su mapa de $f$ es 0-dimensional, $m>1$, por lo tanto, el conjunto crítico de $f$ no separada $U$. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la $f$ ha positiva determinante jacobiano $J_f(x)$ en sus puntos regulares. La apertura es una propiedad local. Está claro (por el teorema de la función inversa) en los puntos donde se $J_f(x)\ne 0$, por lo tanto, considere la posibilidad de una (aislado) punto crítico $x_0\in U$$f$. Deje $B$ ser lo suficientemente pequeña bola cerrada centrada en $x_0$, $B\subset U$, estoy asumiendo que $x_0$ es el único de los puntos críticos de $f$$B$. Sin pérdida de generalidad (genéricos de la elección de la radio de $B$), $y_0:=f(x_0)\notin f(\partial B)$. Ahora, voy a tomar $M:=B$ y considerar la posibilidad de $deg_g$ para la restricción $g$$f$$M=B$. Hay una secuencia de puntos de $x_i\in B- \{x_0\}$ convergentes a $x_0$. Entonces, desde el $J_g$ es positivo, lejos de la $x_0$ (en $B$), $deg_g(y_i)>0$, $y_i=f(x_i)$. Por lo tanto, por la continuidad de grado, $deg_g(y_0)>0$. Ahora, si $y_0$ no es un punto interior de a $f(B)$, hay una secuencia $z_j\notin f(B)$ convergentes a $y_0$. Por lo tanto, $deg_g(z_i)=0$ para todos los gran $j$. Por lo tanto, $deg_g$ es discontinua en a $y_0$. Una contradicción. Por lo tanto, $f$ está abierto a $x_0$. qed