Vamos secuencia $\{a_{n}\}$ tales $a_{1}=a>0$,y $$a_{n+1}=a+\dfrac{n}{a_{n}}$$
He utilizado el software para encontrar la siguiente conjetura : si $n>\dfrac{4}{a^3}$,tenemos $$a_{n+1}>a_{n}$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Jens
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Esta NO es una respuesta, pero una observación que podría ser, tal vez, una de entrada para encontrar una respuesta. Voy a estar usando ingenuo métodos de matemáticas en la siguiente y probablemente hay una simple razón por la observación, pero pensé que era lo suficientemente interesante como para atreverse a hacer una no-respuesta.
De cálculos numéricos parece que $a_n$ tiende a $\sqrt n + \frac{a}{2}$ grandes $n$. I. e parece tender a una función de $n$ $a$ que vamos a llamar a $f(n,a)$. Deje que nos suponga que un gran $n$ tenemos $a_{n+1} \approx a_n$. Luego podemos cambiar la secuencia original de la siguiente manera: $$a_{n+1}=a+\frac{n}{a_n}$$
se convierte en $$a_n*a_{n+1}=a*a_n+n$$
que se convierte en $$f(n,a)^2 \approx a*f(n,a)+n$$
La solución de esta ecuación nos encontramos con que $$f(n,a) \approx \frac{a+\sqrt{a^2+4*n}}{2}$$
(Para $n$ vemos que esto se reduce a $f(n,a) \approx \sqrt n + \frac{a}{2}$, que era nuestra idea original).
De todos modos, aquí viene la parte interesante. Si pasamos ahora a calcular la diferencia entre el$a_{n}$$f(n,a)$, nos encontramos con que esta diferencia cambia entre un mayor de $0$ de diferencia y un menor que o igual a $0$ diferencia para todos los $n \lt \frac{4}{a^3}$!! Después de esto, la diferencia sigue siendo positivo.
No asegurarse de que esta ayuda, pero me pareció interesante.
Editado para añadir
Después de más de simulaciones puedo ver que mi reclamación en la última (menos uno), el párrafo no es cierto. De hecho, el final de la conmutación entre positivo y negativo de las diferencias exibited por $a_n-f(n,a)$ parece una mejor cota inferior de a $n \lt \frac{4}{a^3}$. Como ejemplo, tome $a=0.2$. La conjetura dice $a_{n+1} \gt a_n$ al $n \lt \frac{4}{0.2^3} = 500$, pero en realidad $a_{n+1} \gt a_n$ ya en$n = 409$, que es exactamente donde la conmutación entre positivo y negativo de las diferencias de parada.
