Colocar los números según su tamaño.

Question

colocar los números según su tamaño.

$$A=2^{4^{2^{.^{.^{.^{2^{4}}}}}}},B=4^{2^{4^{.^{.^{.{4^{2}}}}}}},C=2^{2^{2^{.^{.^{.^{2^{2}}}}}}}$$

En número de $C$ hay $2000$ ,$2$ dígitos y en número de $B,A$ hay $500$,$2$ y $500$,$4$ números.Se parece a $C>B>A$ Pero no puedo dar una prueba .Cualquier sugerencias?

Aquí es el mismo problema que en el arte de resolver el problema, espero que ayude.

Answer 1

Alternativa y relativamente fácil solución sin el uso de logaritmos. Dejemos de

$$h=2^{4^{2^4}}$$

$$j=4^{2^{4^2}}$$

$$k=2^{2^{2^{.^{.^{.^{2^{2}}}}}}}$$

donde $h $ $j $ sólo contienen cuatro números (dos $2$ y dos $4$), y $k $ contiene dieciséis $2$. El cálculo de la exponencial de las torres a partir de la parte superior, tenemos

$$h=2^{4^{16}} = 2^{2^{32}} $$

$$j=4^{2^{16}} = 2^{2 \cdot 2^{16}} = 2^{ 2^{17}} $$

de modo que $h>j $ . Además, teniendo en cuenta $k $ y la solución de sus dos primeros exponenciales de la parte superior, se consigue un aumento exponencial de la torre formada por catorce elementos, en donde la primera edad de trece años se $2$ y la última es $16$. Por lo tanto, claramente tenemos $k>h>j$.

Consideremos ahora los números de $A , B , C $ reportado en el OP. Empezando de nuevo para resolver el exponenciales de la parte superior, se puede reescribir como

$$A=(A_1)^h $$ $$B=(B_1)^j $$ $$C=(C_1)^k $$

donde $A_1$ $B_1 $ son exponenciales torres similar a la inicial de las torres de $A $$B $, respectivamente, pero con $500-4=496 \,\,\, $ elementos en lugar de $500$; y donde $C_1$ es un aumento exponencial de la torre similar a la inicial $C $, pero con $2000-16=1984 \,\,\, $ elementos en lugar de $2000$.

Debido a $k>h>j \,\,\, $, si se podía demostrar que $C_1>A_1>B_1 \,\,\, $, esto nos implica, necesariamente,$C>A>B \,\,\, $. Con esto en mente, podemos ahora repita el mismo procedimiento anterior, aplicando a $A_1, B_1, C_1 \,\,\, $. De esta manera podemos

$$A_1=(A_2)^h $$ $$B_1=(B_2)^j $$ $$C_1=(C_2)^k $$

donde $A_2$ $B_2 $ son de nuevo exponencial torres similar a$A $$B$, respectivamente, pero con $500-2\cdot 4 =492 \,\,\, $ elementos en lugar de $500$; y donde $C_2$ es un aumento exponencial de la torre similar a$C $, pero con $2000-2 \cdot 16=1968 \,\,\, $ elementos en lugar de $2000$. Como en el anterior, debido a que $k>h>j \,\,\, $, si se podía demostrar que $C_2>A_2>B_2$, esto nos implica, necesariamente,$C_1>A_1>B_1 \,\,\, $, y, a continuación,$C>B>A \,\,\, $.

Para generalizar, después de repetir este procedimiento $m $ veces, obtenemos dos números de $A_m$ $B_m $ que son exponenciales torres similar a$A $$B $, respectivamente, pero con $500-m\cdot 4 \,\,\,$ elementos en lugar de $500$, y un tercer número $C_m$ que es una exponencial de la torre similar a$C $, pero con $2000-m \cdot 16 \,\,\, $ elementos en lugar de $2000$. Como en el anterior, debido a que $k>h>j \,\,\, $, mostrando que el $C_m>A_m>B_m \,\,\, \,\, $ implica necesariamente a $C_{m-1}>A_{m-1}>B_{m-1} \,\, \,\,\, $, lo que implica $C_{m-2}>A_{m-2}>B_{m-2} \,\,\, \,\, $ y así sucesivamente, hasta que $C>B>A \,\,\, \,\, $.

Así, la repetición de este procedimiento $m=124 \,\,$ a veces, llegamos a un punto donde $A_{124} $ $B_{124} $ son exponenciales torres con $500-124\cdot 4 =4 \,\,\, $ elementos, y $C_{124}$ es un aumento exponencial de la torre con $2000-124 \cdot 16=16 \,\,\, $ elementos. Desde $ A_{124}=h \,\, \,\,\, $, $B_{124}=j \,\, \,\,\, $, y $C_{124}=k \,\, \,\,\, $,$ C_{124}>A_{124}>B_{124} \,\,\, $, lo que implica necesariamente, como se muestra arriba, $C>A>B \,\,\, $.

Answer 2

El problema puede ser re-formulado en algorítmica estilo de la siguiente manera: $$ \begin{matrix} a_0 = 1 & b_0 = 1 & c_0 = 1 \\ & & c_1 = 2^{c_0} \\ a_1 = 4^{a_0} & b_1 = 2^{b_0} & c_2 = 2^{c_1} \\ & & c_3 = 2^{c_2} \\ a_2 = 2^{a_1} & b_2 = 4^{b_1} & c_4 = 2^{c_3} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ a_k = 4^{a_{k-1}} & b_k = 2^{b_{k-1}} & c_{2k} = 2^{c_{2k-1}} \\ & & c_{2k+1} = 2^{c_{2k}} \\ a_{k+1} = 2^{a_k} & b_{k+1} = 4^{b_k} & c_{2k+2} = 2^{c_{2k+1}} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ A = a_{1000} = 2^{a_{999}} & B = b_{1000} = 4^{b_{999}} & C = c_{2000} = 2^{c_{1999}} \end{de la matriz} $$ Ahora sabemos cómo calcular la enorme cantidad de personas - aunque muy en el principio :-)

El logaritmo con base $2$ puede definirse formalmente como $\,\operatorname{lg}(x) = \ln(x)/\ln(2)$ .
Pero en la práctica a continuación su significado es mucho más simple, como podría llegar a ser claro desde un par de ejemplos: $\lg(2) = 1 \; ; \; \lg(4) = \lg\left(2^2\right) = 2 \; ; \; \lg(8) = \lg\left(2^3\right) = 3$ . En general : $\,\operatorname{lg}\left(2^x\right) = x$ .
Necesitamos una función para cortar el exponente de una potencia (torre) de dos. Podemos llamar a esta función "chopper", pero el nombre correcto para ti en común de las matemáticas es $2$-logaritmo. Tomar, o si no te gustan los logaritmos: salir de él. Todo el empleo de nuestros "exponente chopper" es como aquí: $2^x > 2^y \; \Longleftrightarrow \; x > y$ . Así que ¿cuál es el problema?

Vamos a emplear la inducción matemática. Para ello, definir posterior "aproximaciones" de $A,B,C$ como sigue: $$ A_n = a_{2n} \quad ; \quad B_n = b_{2n} \quad ; \quad C_n = c_{4n} $$ Como el primer paso de inducción, calculamos: $$ A_1 = a_2 = 2^4 = 16 \quad ; \quad B_1= b_2 = 4^2 = 16 \quad ; \quad C_1 = c_4 = 2^{2^{2^2}} = 65536 $$ Eso no es suficiente para establecer una desigualdad entre el$A$$B$, así que tomamos un segundo paso para estos: $$ A_2 = a_4 = 2^{4^{2^4}} \quad ; \quad B_2 = b_4 = 4^{2^{4^2}} = 2^{2\cdot{2^{4^2}}} $$ Los logaritmos de base $2$ : $$ \operatorname{lg}\left(2^{4^{2^4}}\right) = 4^{2^4} = 2^{2\cdot{2^4}} \quad ; \quad \operatorname{lg}\left(4^{2^{4^2}}\right) = 2\cdot 2^{4^2} = 2^{1+4^2} $$ Y de nuevo: $$ \operatorname{lg}\left(4^{2^4}\right) = 2\cdot 2^4 = 32\quad ; \quad \operatorname{lg}\left(2\cdot 2^{4^2}\right) = 1 + 4^2 = 17 $$ De $\,32 > 17\,$ se sigue que $\;A_2 > B_2\,$ , es decir: $\;2^{2^{32}} > 2^{2^{17}}$ .

Supongamos ahora que $\;C_n > A_n > B_n \gg 1\;$ y demostrar que $\;C_{n+1} > A_{n+1} > B_{n+1}$ . $$ \begin{matrix} A_n = a_{2n} & B_n = b_{2n} & C_n = c_{4n} \\ A_{n+1} = a_{2n+2} = 2^{4^{A_n}} & B_{n+1} = b_{2n+2} = 4^{2^{B_n}} & C_{n+1} = c_{4n+4} = 2^{2^{2^{2^{C_n}}}} \end{de la matriz} $$ Tomando logaritmos dos veces: $$ \begin{matrix} \operatorname{lg}\left(A_{n+1}\right) = 4^{A_n} & \operatorname{lg}\left(B_{n+1}\right) = 2\cdot 2^{B_n} & \operatorname{lg}\left(C_{n+1}\right) = 2^{2^{2^{C_n}}} \\ \operatorname{lg}\left(\operatorname{lg}\left(A_{n+1}\right)\right) = 2A_n & \operatorname{lg}\left(\operatorname{lg}\left(B_{n+1}\right)\right) = 1+B_n & \operatorname{lg}\left(\operatorname{lg}\left(C_{n+1}\right)\right) = 2^{2^{C_n}} \end{de la matriz} $$ De donde se desprende que el$\;C_{n+1} > A_{n+1} > B_{n+1}\;$. Especialmente: $$ C_2 > A_2 > B_2 $$ Así que para todos los $\,n \ge 2\,$ tenemos $\;C_n > A_n > B_n$ . Ahora se especializan para $\,n = 500\,$ y listo.
Conclusión : $\;C > A > B$ . Sugerente imagen (no pretender nada más):

De BONO. Algo más que un reto, es la siguiente modificación de la pregunta:
en $C$ hay $1500$ números de $2$ (en lugar de $2000$). Entonces tenemos: $$ A_n = a_{2n} \quad ; \quad B_n = b_{2n} \quad ; \quad C_n = c_{3n} $$ Y el primer paso de inducción resultados en una igualdad de $\;A_1=B_1=C_1$ : $$ A_1 = 2^4 = 16 \quad ; \quad B_1 = 4^2 = 16 \quad ; \quad C_1 = 2^{2^2} = 16 $$ Un segundo paso es necesario para establecer una desigualdad: $$ \operatorname{lg}(\operatorname{lg}(A_2)) = 32 \quad ; \quad \operatorname{lg}(\operatorname{lg}(B_2)) = 17 \\ \operatorname{lg}(\operatorname{lg}(C_2)) = \operatorname{lg}\left(\operatorname{lg}\left(2^{2^{2^{16}}}\right)\right) = \operatorname{lg}\left(2^{2^{16}}\right) = 2^{16} = 65536 $$ Finalmente, que resulta en el mismo de antes: $\;C > A > B$ .

Answer 3

Un enfoque es el uso que si $x > 3y$ tenemos $2^x > 3\cdot4^y$ si $y\ge2$. Esto es debido a que:

$$2^x > 2^{3y}$$ $$4^y = 2^{2y}$$

por lo que su relación es:

$${2^x\over4^y} > {2^{3y}\over2^{2y}}=2^y$$

De manera similar tenemos que $4^x > 3\cdot2^y$.

Así que si $y\ge2$ tenemos que la proporción es de al menos $4$ y sin duda mayor que la $3$. Por lo que podemos utilizar esto para la relación de las estimaciones. A partir de la cola de $A$$B$. Obviamente $2^4=16=4^2$, pero a su lado se $4^{2^4} = 4^{16} = 2^{17}$$2^{4^2}=2^{16}$. Siguiente paso vamos a tener que $2^{4^{2^4}} > 3\cdot4^{2^{4^2}}$, así que lo que vamos a tener que resultado de todo el camino hasta que hemos llegado a $A$$B$, por lo que tendremos $A>3B>B$ (es de suponer que todos ellos contienen el mismo número de números).

La relación entre el $A$ $C$ puede ser visto en similares y algo de manera más fácil. Para ello vamos primero asegúrese de que el exponente de la cadena es igual de largo. Esto se hace con sólo reemplazar la cola de $C$. Obviamente $2^{2^{\cdots{997}\cdots^2}} > 3\cdot4$, el resto sigue - lo $C>A$.

Answer 4

Este es un excelente ejercicio para la práctica de cómo lidiar con la exponenciación. Recordar que $x\cdot x^y=x^{y+1}$ y $(x^y)^z=x^{y\cdot z}$, vamos a:

$a_1=2^4=16~~~~~~a_{i+1}=2^{4^{a_{i}}}=2^{(2^2)^{a_i}}=2^{2^{\mathbf{\left(2\cdot a_{i}\right)}}}$

$b_1=4^2=16~~~~~~b_{i+1}=4^{2^{b_{i}}}=(2^2)^{2^{b_i}}=2^{2\cdot 2^{b_i}}=2^{2^{\mathbf{\left(b_i+1\right)}}}$

$c_1=2^{2^{2^{2}}}=2^{16}~~~c_{i+1}=2^{2^{2^{2^{c_{i}}}}}=2^{2^{\mathbf{\left(2^{2^{c_{i}}}\right)}}}$

de modo que $A=a_{500}, B=b_{500}, C=c_{500}$.

Ahora, si $1<b_i\leq a_i\leq c_i$$\mathbf{(b_i+1)}\leq (a_i+1) < \mathbf{(2\cdot a_i)} \leq (2\cdot c_i) < 2^{c_i} < \mathbf{\left( 2^{2^{c_i}}\right)}$, así que si nos fijamos en lo que está en paréntesis "en la parte superior" de la $2^2$ en el último término de las expresiones de $a_{i+1}$, $b_{i+1}$, $c_{i+1}$ tenemos:

$1<b_1=a_1<c_1 \implies 1<b_2<a_2<c_2 \implies\dots \implies 1<b_{500}<a_{500}<c_{500}$, es decir,

$B<A<C$.

Answer 5

Convertir todos los poderes en $2$ ya que sabemos que $4=2^2$.

$\therefore$ usted nos puede escribir como $$A=2^{2^{2^{2^{.^{.^{.}}}}}}\tag{504,2}$$ $$B=2^{2^{2^{2^{.^{.^{.}}}}}}\tag{1002,2}$$ and$$C=2^{2^{2^{2^{.^{.^{.}}}}}}\tag{2000,2}$$ a partir de aquí es claro que

$$\color{Blue}{C>B>A}$$

Espero que ayude!!!