Demostrar que $0<\det(A) \le 1$

Question

$A=(a_{ij})$ $n\times n$ simétrica real de la matriz tal que:

$a_{ii}=1$ $\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|<2$ todos los $i \in \{1,2,3,...,n\}$.

Demostrar que $0< \det(A) \le 1$.

Mi planteamiento:

Esa es una pregunta que he intentado antes y estoy intentando de nuevo, pero todavía sin éxito.

Estoy tratando de utilizar teorema espectral (tal vez probar que $|\lambda| \le1$) pero no tengo nada.

También traté de fuerza bruta usando la definición (utilizando permutaciones) de $\det A$.

Alguna idea?

Answer 1

Todos los autovalores son reales, esto combinado con la gershgorin disco teorema implica cada autovalor es en el rango de $(0,2)$. Por lo que el determinante es positivo.

Aviso de que la traza de la matriz es $n$, y esto es igual a la suma de los autovalores, así que por la media aritmética-media geométrica el producto de los autovalores es en la mayoría de las $1$.