¿Cómo sabemos que el Cantor de la diagonalización no es la creación de diferentes decimal del mismo número?

Question

Edit: Como los comentarios de mencionar, no he entendido cómo utilizar el método de diagonalización. Sin embargo, la cuestión que estoy tratando de entender que es un problema potencial con diagonalización y que se aborda en las respuestas, así que no voy a borrar la pregunta.

Cantor de la diagonalización es una manera de crear un número único dado una contables lista de todos los reales.

Puedo ver cómo el Cantor del método, se crea un único decimal cadena, pero no estoy seguro de si esto decimal cadena corresponde a un único número. Básicamente, esto es debido a que $1 = 0.\overline{999}$.

Considere la lista que contiene todos los números reales entre el$0$$1$:

$0.5000 \mathord\ldots \\ 0.4586 \mathord\ldots \\ 0.3912 \mathord\ldots \\ 0.3195 \mathord\ldots \\ 0.7719 \mathord\ldots\\ \vdots$

El inicio de esta lista se produce un nuevo número de cuatro cifras decimales es:

$0.4999 \mathord\ldots$

Pero $0.5$ fue el primer número y $0.4\overline{999} = 0.5$, por lo que esto no ha producido un número único.

Por supuesto, mi lista es muy artificial, admito que es difícil imaginar una lista de los reales, donde los números se ajustaran perfectamente a dar un problema como este (ya que algunos números no tienen nueves). Sin embargo, yo no puedo ver una buena razón de por qué una enumeración de los números sería imposible.

Answer 1

Este es de hecho un problema potencial si la prueba es por descuido, declaró, pero es fácilmente evitarse: si el $n$-ésimo dígito decimal de la $n$-ésimo número de la lista es $7$, podemos reemplazarlo por $6$, y si no $7$, podemos reemplazarlo por $7$. Los únicos números en $(0,1)$ con dos decimales representaciones son aquellos con una representación final en una infinita cadena de nueves y el otro en una infinita cadena de ceros, y esta versión del argumento claramente no producir una serie de cualquiera de estos formularios.

Answer 2

Como Henning Makholm indica en su comentario, se supone que tienes que seleccionar los dígitos que son diferentes de la diagonal que se mire, no la diagonal dígitos a sí mismos. Asegúrese de seleccionar los dígitos distintos de$9$$0$, y se evita el problema

Answer 3

Vamos a hablar de números (que son números) y su representación (que son una lista de dígitos).

Usted dice:

Cantor de la diagonalización es una manera de crear un número único dado una contables lista de todos los reales.

No exactamente, el Cantor de la diagonalización es una manera de crear una única representación de una contables lista de representaciones de un número real. (no todas ).

Puedo ver cómo el Cantor del método, se crea un único decimal cadena, pero no estoy seguro de si esto decimal cadena corresponde a un único número. Básicamente, esto es debido a que $1 = 0.\overline{999}$

El método de crear un único decimal cadena (es decir. la representación). Y una representación de partido sólo un número.

• Usted puede tener 2 representación de 1 número.
• Pero a partir del 1 de representación, sólo tienes 1 número.

Vamos a añadir un teorema (esto es difícil):

• Si la representación no termina con una infinita cadena de 9 o 0, la representación es única.

Ahora, usted presenta una hipotética lista de representaciones de todos los números reales entre 0 y 1.

Utilice diagonalización de Cantor para extraer un único diagonal de la representación, que representan un único diagonal número.

Usted dice:

Pero 0.5 era el primer número y $0.5 = 0.4\overline{999}$, por lo que esto no ha producido un número único.

Esto ha producido una única representación $0.4\overline{999}$, por lo que coincide con un número único que se es $1/2$. Sí, este número tiene dos representación, pero sólo hay un único número aquí.

Parece que la diagonal de la representación ($0.4\overline{999}$) y la primera representación de la lista ($0.5\overline{000}$) representan el mismo número ($1/2$ es otra manera de representar).

En otras palabras, usted descubre que la diagonal número (que es un número real en (0, 1)) está representado en la lista de representación de todos los números reales en (0, 1).

Eso es coherente y bien.

Ahora usted quiere construir un número que no está representado en la lista. Y usted va a construir una representación de la misma a partir de la diagonal de la representación.

Usted tendrá que usar la @BrianM.Scott método y construir una representación de un número:

• No contiene 0 o 9. Así que es la única representación de un número dado.
• No coincide con ninguno de representación presentes en la lista.
• Representar un número en (0, 1)

Que, de encontrar un número que tiene una representación única y de que esta representación no está en la lista.

Y comprueba que su hipotética lista no existe.

Answer 4

Cantor Diagonal de la prueba no fue acerca de los números - de hecho, fue diseñado específicamente para probar la proposición "algunos de los conjuntos infinitos no se pueden contar" sin el uso de los números como en el ejemplo. (Era su segunda prueba de la proposición, y el primero fue criticado porque lo hizo.)

Lo que Cantor utilizan realmente, eran infinitas cadenas de longitud que se combina sólo con dos personajes diferentes. Él utilizó "m" y la "w." Pero moderno de la Escuela secundaria y los estudiantes tienen experiencia con infinitos decimales expansiones, y es más fácil enseñar nuevos conceptos en términos de lo que ya está familiarizado. El punto es, que no hay ninguna ambigüedad en decir que dos cadenas son diferentes si tienen caracteres diferentes en al menos una posición.

Otro punto que se enseña mal, es que la prueba no tiene que ser una prueba-por-contradiciton. Muchas personas tienen una justificada protesta de asumir Una declaración, y luego resulta que no(A) se sigue de ella. Todo lo que realmente demuestra es que hay algo mal en el círculo que va desde Un a no(A), no se que tiene que ser de la asunción de A. Cual es la razón por la que muchas personas intentan invalidar uno de los pasos - lo que usted reclama a uno de los modos en que ellos tratan (y sí, puede ser obtenido fácilmente, como se indica en otras respuestas).

Cantor sólo se supone que tiene un countably conjunto infinito de algunas de estas cadenas. Diagonalización demuestra que no es una cadena, no en su conjunto. Ya que "Si entonces B" es lógicamente equivalente a "Si no B) no(A)," esto demuestra que si se tiene un conjunto de todas las cadenas de este tipo, entonces no puede ser contado.

Elegante, ¿no?