Una distribución discreta con función de masa de
$$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)},\quad x = 1,2,\ldots$$
surge en la página 9 de este documento.
Para $k=1$ es una de Yule-Simon distribución con $\rho=1$, pero no he encontrado otros ejemplos.
¿Tiene un nombre? Aparece en cualquier otros contextos? Hay un simple proceso estocástico que puede generar?
Es un discreto poder de la ley.
(Esta es una descripción--cuyo significado se hizo precisa a continuación-en lugar de un término técnico. La frase "discreto poder de la ley" tiene una ligeramente diferente significado técnico, según lo indicado por @Cardenal en los comentarios a esta respuesta.)
Para ver esto, observe que la fracción parcial de descomposición puede ser escrito
$$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$$
La CDF telescopios en una forma cerrada:
$$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$$
(Dicho sea de paso, porque esto es fácilmente invertida, que inmediatamente proporciona una manera eficaz de generar variables aleatorias a partir de esta distribución: simplemente calcular $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ donde $u$ es distribuido uniformemente en $(0,1)$.)
Diferenciando esta expresión con respecto a $i$ muestra cómo el CDF se puede escribir como una integral,
$$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$$
de dónde
$$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$$
Esta forma de escribir se exhibe $k$ como un parámetro de escala para la familia de (continua) la distribución determinada por la densidad
$$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$$
y muestra cómo $p(x;k)$ es la versión discretizada de $f$ (escalado por $k$) obtenido mediante la integración de la probabilidad continua sobre el intervalo de$x-1$$x$. Que obviamente se trata de una ley de potencia con exponente $-2$. Esta observación le da una entrada en la extensa literatura sobre las leyes de poder y cómo surgen en la ciencia, la ingeniería y las estadísticas, que pueden sugerir muchas respuestas a tus dos últimas preguntas.
Bien, después de un poco más de investigación, he encontrado algunos detalles más.
Es un caso especial de una mezcla continua de una distribución geométrica con una versión Beta, por lo que podría ser llamado un Beta-distribución geométrica. Específicamente, si: $$P \sim \mathrm{Beta}(1,k) $$ y: $$X|P \sim \mathrm{Geometric}(P)$$ a continuación, la distribución marginal de $Y = X+1$ tiene esta distribución. Como tal, es un caso especial de un Beta-binomial Negativa de distribución.
Tiene un par de otras propiedades interesantes:
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