Pregunta sobre la prueba simplificada del teorema de Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas de De la Vallee Poussin

Question

He tratado de entender la "Demonstration Simplifiee du Theorem de Dirichlet sur la Progression Arithmetique" de De la Vallee Poussin y me he atascado en el siguiente paso de la página 18 donde Poussin toma el derivado logarítmico de: $$ \Sigma_ {n} \frac { \chi (n)}{n^{s}} = \prod_ {q}(1- \frac { \chi (q)}{q^{s}})^{-1}$$ con el fin de obtener: $$-D \log\sum_ {n} \frac { \chi (n)}{n^{s}} = \Sigma_ {q} \frac { \chi (q) \log (q)}{q^{s}- \chi (q)}$$

Específicamente, cuando trato de trabajar en el cálculo, no veo de dónde viene el -1 en la parte izquierda de la ecuación. Cuando intenté tomar registros y luego diferenciar la primera ecuación, terminé con lo siguiente:

$$D \log\sum_ {n} \frac { \chi (n)}{n^{s}} = \Sigma_ {q} \frac { \chi (q) \log (q)}{q^{s}- \chi (q)}$$

¿Podría alguien ayudarme a entender en qué me equivoco, por favor?

Answer 1

En lo que sigue, la D denota la diferenciación con respecto a $s$ .

Tenemos que

$ \Sigma_ {n} \frac { \chi (n)}{n^{s}} = \prod_ {q}(1- \frac { \chi (q)}{q^{s}})^{-1}$

Tomamos el registro de cada lado y luego procedemos a tomar el derivado. Así tenemos

$Dlog \Sigma_ {n} \frac { \chi (n)}{n^{s}} = Dlog \prod_ {q}(1- \frac { \chi (q)}{q^{s}})^{-1}$

Ahora el lado derecho de la ecuación es igual a:

$D \Sigma_ {q}log(1- \frac { \chi (q)}{q^{s}})^{-1} = -D \Sigma_ {q}log(1- \frac { \chi (q)}{q^{s}})$ usando las propiedades de la bitácora.

Ahora diferenciamos término por término. Para un término arbitrario en la suma, tenemos:

$Dlog(1- \frac { \chi (q)}{q^{s}})=-(1- \frac { \chi (q)}{q^{s}})^{-1} \chi (q)Dq^{-s}$ por la regla de la cadena.

Pero sabemos que

$Dq^{-s}=-log(q)q^{-s}$

Así que tenemos $Dlog(1- \frac { \chi (q)}{q^{s}})=(1- \frac { \chi (q)}{q^{s}})^{-1} \chi (q)log(q)q^{-s}$ porque los signos negativos se cancelan.

Pero entonces $-D \Sigma_ {q}log(1- \frac { \chi (q)}{q^{s}}) = \Sigma (1- \frac { \chi (q)}{q^{s}})^{-1} \chi (q)log(q)q^{-s}$

Y después de reacomodar, esto nos da $-D \Sigma_ {q}log(1- \frac { \chi (q)}{q^{s}})=- \Sigma_ {q} \frac { \chi (q)log(q)}{q^{s}- \chi (q)}$ . Así que tenemos

$Dlog \Sigma_ {n} \frac { \chi (n)}{n^{s}}= - \Sigma_ {q} \frac { \chi (q)log(q)}{q^{s}- \chi (q)}$ y así intercambiar el signo negativo de la derecha a la izquierda nos da el resultado.

(P.D. Por favor, perdóneme si hay errores de escritura en lo anterior, ¡no soy muy bueno con el código de látex!)