Preguntas acerca de la derivada y diferenciación

Question

Para una verdadera función con valores de $f$ definido en $\mathbb{R}$ o su subconjunto,

1. es posible que se diferenciable en un punto y no en uno de sus barrios, excepto el punto en sí?

2. es posible que se derivable en un intervalo, pero su derivada en el intervalo es no continua?

   He encontrado en este enlace para que $f(x) = x^2 \sin(1/x)$, cuando se $x$ no es 0, la derivada es de $2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$, que no tiene un límite a medida que x se aproxima a 0, pero el derivado de la $f$ no existe en 0: $$\lim_{h \rightarrow 0} ( h^2 \sen(1/h) - 0)/(h-0) = 0.$$

   Me preguntaba cómo $f$ es diferenciable en 0? No se requieren $f$ a ser definido en 0?

Gracias y saludos!

Answer 1

1. Deje $f(x)=x^2$ si $x$ es racional, $f(x)=0$ si $x$ es irracional. Si $x\neq 0$, $f$ no es continua en a $x$, y por lo tanto no es diferenciable en a $x$. Si $h\neq0$ es racional, entonces $\frac{f(h)}{h}=h$, mientras que si $h$ es irracional, entonces $\frac{f(h)}{h}=0$. Por lo tanto,$f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}=0$, y, en particular, existe. Si quería que el ejemplo sea continuo, tomar una función continua es diferenciable, y multiplicar por $x$ para obtener una función continua diferenciable sólo en $0$.