Regla De La Cadena Intuición

Question

Sabemos que la regla de la cadena se utiliza para diferenciar una función de composición ,por ejemplo $$f(x) = h(g(x))$$ Se define como la derivada de la fuera de la función de los tiempos de la derivada del interior de la función o de la otra manera alrededor.

$$\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} u} \cdot \frac{\mathrm{du} }{\mathrm{d} x}$$

A pesar de que sabemos que la expresión anterior no es una fracción (a pesar de que es un fraccionarios en notación de la derivada utilizado por Leibnitz) puede "cancelar" los dos du y volver dy/dx.

Mi pregunta es: ¿Cómo se puede siquiera pensar en la cancelación de du dy/du y du de du/dx cuando ellos ni siquiera son fracciones. Simplemente porque se ha multiplicado hacer que se conviertan automáticamente en fracciones?Son ellos realmente se "multiplican"?

Soy realmente en busca de una intuición detrás de este.Para mí esto es una especie de fantasía.No parece ser real.

Answer 1

En una carrera, Usain Bolt es viajar dos veces tan rápido como un tren que va 3 veces tan rápido como un caballo. Cuánto más rápido es de Usain Bolt viaje que el caballo?

$$ \frac{d\text{Perno}}{d\text{Caballo}}= \frac{d\text{Perno}}{d\text{Tren}} \cdot \frac{d\text{Tren}}{d\text{Caballo}} = 2\cdot 3 = 6 $$

Answer 2

Si $h$ y $g$ lineal de funciones, entonces debería ser obvio lo que la regla de la cadena debe contener. El general de la regla de la cadena es simplemente esta observación, más el hecho de que los derivados de proporcionar buenas aproximaciones lineales.

Answer 3

Aquí está la intuición me dan cada vez que me enseñe a la Regla de la Cadena:

Recuerde que son derivados de tasas de interés, la Regla de la Cadena se explica cómo multiplicar de manera significativa estas tasas juntos. El guepardo es 4 veces más rápido que un hombre, y un hombre es 10 veces más rápido que un caracol. Usted puede ver de inmediato cómo comparar el guepardo para el caracol-- el guepardo es de 40 (que es, 4x10) veces más rápido.

La Regla de la Cadena es sólo la fórmula para calcular más difícil derivados por el uso de un paso intermedio. Tenemos $ $ y=f(x)$, y podemos obtener la tasa de cambio de $ $ y$ con respecto a $x$ por ir a través de una variable intermedia $u=g(x)$ (donde $f(x)=h(g(x))$). Tenemos $$f'(x)= h'(g(x)) \, g'(x)$$ o, de manera equivalente, $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}.$$

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Lo anterior es sólo una rápida intuitiva explicación de por qué la Regla de la Cadena consiste en la multiplicación de los derivados y "cancelación." Rahul la respuesta explica una prueba de este hecho.

Tener pruebas es esencial, porque a veces los derivados pueden no funcionar como se espera. Por ejemplo, si usted tiene $z=f(x,y)$ donde $x$ y $y$ son ambas funciones de $t$, la Regla de la Cadena se ve como $$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt},$$ que no es lo mismo como fracción común cancelación.

Answer 4

$$ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}. $$ Cuando usted escribe que, entonces, es la cancelación.

(Ordinario "límite de la ley" va a llegar desde allí a $\left(\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta u}\right)\cdot \left(\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta u}{\Delta x}\right)$, pero aviso que el primer límite aquí dice "$\Delta x\to 0$", no "$\Delta u \to0$". Que usted puede poner $\Delta u$ no depende del hecho de que las funciones diferenciables son continuas. Entonces hay una moderadamente peludo dificultad de qué hacer cuando $\Delta u=0$ y $\Delta x\ne 0$.)

Answer 5

Pensar en la trama de $f(x)$ y $f(3x)$. Está claro que la pendiente en el segundo caso es 3 veces más grande. Ahora, en cambio, el factor que en cada punto...