La diferencia entre el logaritmo de una expectativa de valor y la expectativa de valor de un logaritmo

Question

Suponiendo que tengo una siempre positivo de la variable aleatoria $X$, $X \in \mathbb{R}$, $X > 0$. Entonces ahora estoy interesado en la diferencia entre los siguientes dos expectativa de valores:

1. $E \left[ \ln X \right]$
2. $\ln E \left[ X \right]$

Es quizá siempre una inferior y límite superior de la otra?

Muchas gracias de antemano...

Answer 1

Ya que la función logaritmo es cóncava, la desigualdad de Jensen muestra que $E(\ln(X))\leqslant \ln E(X)$ y que la igualdad se produce iff $X$ es casi seguramente constante.

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Editar (Esto es para ampliar un comentario hecho por Shai.)

Shai la respuesta explica cómo demostrar a $E(\ln(X))\leqslant \ln E(X)$ AM-GM de la desigualdad y la fuerte ley de los grandes números. Estas herramientas producen los siguientes refinamiento (adaptado de el papel de la Auto-mejora de la desigualdad entre la aritmética y la geométrica medios por J. M. Aldaz).

Aplicar AM-GM de la desigualdad a la raíz cuadrada de un yo.yo.d. secuencia positiva de las variables aleatorias $(X_i)$, es decir, $$\sqrt[n]{\sqrt{X_1}\cdots\sqrt{X_n}}\leqslant\frac1n(\sqrt{X_1}+\cdots+\sqrt{X_n}).$$ En el límite de $n\to\infty$, el fuerte de la ley de los grandes números de los rendimientos $$\exp(E(\ln\sqrt{X}))\leqslant E(\sqrt{X}),$$ es decir, $$E(\ln X)\leqslant 2\ln E(\sqrt{X})=\ln (E(X)-\mbox{var}(\sqrt{X})).$$ Finalmente:

Por cada positivo integrable $X$, $$E(\ln X)\leqslant [\ln E(X)]-\delta(X)\quad\mbox{donde}\ \delta(X)=\ln[E(X)/E(\sqrt{X})^2].$$

El término de corrección de $\delta(X)$ es no negativa para cada $X$, e $\delta(X)=0$ fib $X$ es casi seguramente constante.

Naturalmente, esto también se obtiene directamente a través de la desigualdad de Jensen aplicado a $\sqrt{X}$.

Y este resultado es un caso especial de que el hecho de que, para cada $s$$(0,1)$, $$E(\ln X)\leqslant [\ln E(X)]-\delta_s(X)\quad\mbox{donde}\ \delta_s(X)=\ln[E(X)/E(X^s)^{1/s}].$$ La cantidad de $\delta_s(X)$ es un nonincreasing función de $s$ por lo tanto el límite superior $[\ln E(X)]-\delta_s(X)$ es mejor y mejor al $s$ disminuye a $0$. Para cada $X$, $\delta_1(X)=0$, $\delta_{1/2}(X)=\delta(X)$ y $\delta_0(X)=[\ln E(X)]-E(\ln X)$.

El punto interesante de todo esto, si es que uno ha cuantificado la discrepancia entre el $E(\ln X)$ $\ln E(X)$ y, simultáneamente, recuperado el hecho de que $E(\ln X)=\ln E(X)$ fib $X$ es casi seguramente constante.

Answer 2

Añadir Didier de la respuesta, es interesante señalar que la desigualdad de ${\rm E}(\ln X) \le \ln {\rm E}(X)$ puede ser visto como una consecuencia de la AM-GM de la desigualdad , combinado con el fuerte de la ley de los grandes números, a escribir el AM-GM de la desigualdad $$\sqrt[n]{{X_1, \cdots X_n }} \le \frac{{X_1 + \cdots + X_n }}{n}$$ como $$\exp \bigg(\frac{{\ln X_1 + \cdots + \ln X_n }}{n}\bigg) \le \frac{{X_1 + \cdots + X_n }}{n},$$ y dejando $n \to \infty$.

EDIT: Para la integridad, permítanme señalar que ${\rm E}[\ln X]$ podría ser igual a $-\infty$. Por ejemplo, si $X$ tiene función de densidad de $$f(x) = \frac{{\ln}}{{x\ln ^2 x}},\;\;0 < x < \frac{1}{un},$$ donde $a>1$ (tenga en cuenta que $\int f = 1$), luego $${\rm E}[\ln X] = \int_0^{1/} {\frac{{\ln}}{{x\ln x}}} \,{\rm d}x = -\infty.$$