Muestran que la curva $\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{b^2} = 1$ forma una elipse

Question

Si la definición de una elipse es el conjunto de puntos de $(x,y)$ tal que dados dos puntos de enfoque $F_1, F_2$ la suma de las distancias de $(x,y)$ a cada punto de enfoque es constante, ¿cómo se puede demostrar que la curva de $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1, \quad 0 < b \leq a \quad$ forma una elipse?

Los métodos que conozco son a derivar la fórmula considerando los focos $(-c,0), (c,0)$ y la distancia constante $2k$, o establecer el valor de $(x,y) = (a\cos{v}, b\sin{v})$. Hay algunos otros, de manera relativamente fácil demostrar que los puntos que satisface la ecuación de una elipse?

Me pregunto porque en un libro que me estoy leyendo a la autora afirma que "un cálculo directo muestra que la curva de hecho, forma una elipse, pero no entiendo qué tipo de cálculo que esto podría ser.

Answer 1

Si $c=\sqrt{a^2-b^2}$ y $F_1=(-c,0)$, $F_2=(c,0)$ son los dos focos, entonces la distancia de un punto genérico $P=(x,y)$ de la elipse de $F_1$ $$ PF_1 = \sqrt {(x+c) ^ 2 + y ^ 2} = \sqrt {x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2}. $$ % Aquí sustituir $y^2=b^2-{b^2\over a^2}x^2$uno consigue $$ PF_1 = \sqrt {x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + b ^ 2-{b ^ 2\over un ^ 2} x ^ 2} = \sqrt{{c^2\over un ^ 2} x ^ 2 + 2cx + a ^ 2} = a + {c\over un} x. $$ un cálculo análogo da $PF_2=a-{c\over a}x$, que $PF_1+PF_2=2a$.

Answer 2

Puede escribir un punto en la curva de $(a\cos t,b\sin t)$ $t\in[0,2\pi)$ único. Considerar la distanc de $(c,0)$, donde $c=\sqrt{a^2-b^2}$:\begin{align} \sqrt{(a\cos t-c)^2+(b\sin t)^2} &=\sqrt{a^2\cos^2t-2ac\cos t+a^2-b^2+b^2\sin^2t} \\ &=\sqrt{a^2\cos^2t-2ac\cos t+a^2-b^2+b^2\sin^2t} \\ &=\sqrt{c^2\cos^2t-2ac\cos t+a^2} \\ &=|c\cos t-a| \\ &=a-c\cos t \end{align} del mismo modo, la distancia de $(-c,0)$ es $$ + c\cos $$ por lo que la suma es $2a$.