¿Existe una curva de $C^1$ densa en el plano?

Question

¿Hay una curva de $\gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ inyectiva y $\mathcal{C}^1$ cuyo rango es denso en $\mathbb{R}^2$?

Answer 1

Dada una contables subconjunto $E=\{x_n\mid n\in\mathbb N_0\}\subset \mathbb R^2$, hay un inyectiva $C^\infty$ curva de $\gamma\colon [0,\infty)\to\mathbb R^2$ pasa a través de todos los puntos de $E$. Para mostrar esto, definimos $\gamma_n\colon [0,n]\to\mathbb R^2$ con

1. $\gamma_n\in C^\infty([0,n],\mathbb R^2)$
2. $\gamma_n$ es inyectiva
3. $\{x_0,\ldots,x_n\}\subset \gamma_n([0,n])$
4. Existen $ t_n\in[0,n)$, $r_n,s_n\in\mathbb R^2$ tal que $\gamma_n(t)=t\cdot r_n+s_n$ $t_n\le t\le n$

Para comenzar, vamos a $\gamma_1$ ser el segmento de línea recta de$x_0$$x_1$.

Ahora suponga que se nos da $\gamma_{n-1}$ que cumple las condiciones 1.-4. (con $n$ reemplazado por $n-1$). Deje $S$ el conjunto de puntos de $x$ tal que existe una curva de $\gamma_n$ $\gamma_n(n)=x$ $\gamma_n|_{[0,n-1]}=\gamma_{n-1}$ y que cumplen las condiciones 1., 2. y 4. (pero no necesariamente 3.).

A continuación, $S$ contiene $B(\gamma_{n-1}(n-1),\delta)\setminus\gamma_{n-1}([t_{n-1},n-1])$ donde $\delta$ el (positivo) de la distancia entre el $\gamma_{n-1}(n-1)$ y el conjunto compacto $\gamma_{n-1}([0,t_{n-1}])$. Esto es así porque podemos añadir una pequeña lineal segmento deseado extremo y una suavidad de conexión entre dos segmentos de línea. Por una construcción similar, $S$ está abierto. De nuevo por asimilar la construcción, $\mathbb R^2\setminus(S\cup\gamma_{n-1}([0,n-1]))$ está abierto. Desde $\mathbb R^2\setminus\gamma_{n-1}([0,n-1])$ está conectado, llegamos a la conclusión de $S=\mathbb R^2\setminus\gamma_{n-1}([0,n-1])$. Especialmente, se puede seleccionar $x=x_{n}$ y así obtener la $\gamma_n$ con condiciones 1.-4. cumplido y $\gamma_n|_{[0,n-1]}=\gamma_{n-1}$. O ya tenemos $x_n\in\gamma_{n-1}([0,n-1])$ "por accidente" y se puede optar $x$ arbitrarias y alcanzar el mismo objetivo.

La curva de $\gamma\colon [0,\infty)\to\mathbb R^2$ $\gamma(t)=\gamma_n(t)$ algunos $n>t$ cumple

1. $\gamma\in C^\infty([0,\infty),\mathbb R^2)$
2. $\gamma$ es inyectiva
3. $E\subset\gamma([0,\infty))$

Si $E$ es un denso conjunto, llegamos a la conclusión de que $\gamma([0,\infty))$ es densa.