¿raíz cuadrada de una suma? ¿Obligado?

Question

Es allí cualquier límite de una expresión como:

$$\left( a_1 + a_2 + \cdots + a_n\right)^{1/2} \leq ?$$

Lo necesito para $n=3$. Sé que la desigualdad de Hardy pero es para exponente mayor que 1. ¿Hay algo para la raíz cuadrada?

¡Gracias a todos!

Answer 1

Prueba elemental desde cero: $$(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2})^2 = a_1+a_2+2\sqrt{a_1a_2}\ge a_1+a_2 $$ hence $% $ $\sqrt{a_1+a_2}\le \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}$ general $n$, por inducción: $$\sqrt{(a_1+\dots+a_{n-1})+a_n}\le \sqrt{a_1+\dots+a_{n-1}}+\sqrt{a_n} \le \sqrt{a_1}+\dots+\sqrt{a_n}$ $

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Más generalmente, la función $f(x)= x^p$ es subadditive $0<p<1$, $f(a+b)\le f(a)+f(b)$ de significado. Una divertida forma de comprobar esto es $ f(a+b)-f (b) = \int_b^ {a + b} f'(x) \,dx = \int_0^{a} f'(x+b) \,dx\le \int_0^{a} f'(x) \,dx = f (a) $$ donde la desigualdad es porque está disminuyendo el $f'$.