¿Puede una plaza incluso superar un cubo por uno?

Question

¿Puede una plaza incluso superar un cubo por uno?

No puedo encontrar ningún ejemplo así que supongo que es falso. ¿Cómo lo pruebo?

Me olvidé de agregar que debe ser positivo.

Answer 1

Aquí es una prueba de uso de primaria métodos:

Queremos encontrar entero positivo soluciones a la ecuación de $(2m)^2 = n^3 + 1$. Esto es equivalente a $$ n^3 = (2m+1)(2m-1).$$ Si $p$ es cualquier prime en la factorización prima de $2m+1$, a continuación, a partir de la ecuación anterior $p$ divide $n^3$. Debido a $n^3$ es un cubo perfecto, el exponente de $p$ en la factorización prima de $n^3$ debe ser divisible por 3. Entonces a partir de la $2m+1$ $2m-1$ son relativamente primos, $2m+1$ debe contener todos los de $n^3$'s factores de $p$. Por lo que el exponente de a $p$ en la factorización prima de $2m+1$ debe ser divisible por 3. Esto es cierto para cada factor primordial $p$$2m+1$, lo $2m+1$ es un cubo perfecto.

Utilizando un argumento similar podemos ver que $2m-1$ debe ser también un cubo perfecto.

Así que una de dos cubos perfectos cuya diferencia es $(2m+1)-(2m-1) = 2$. Pero esto es imposible, ya que la diferencia entre los dos (diferentes) positiva perfecta cubos es, al menos,$2^3 - 1^3 = 7$.

Por lo tanto la ecuación de $(2m)^2 = n^3 + 1$ no tiene ningún número entero positivo de soluciones.

Answer 2

Si recuerdo correctamente, la curva elíptica $y^2=x^3+1$ sólo ha $(0,\pm 1)$, $(-1, 0)$ y $(2, \pm 3)$ como puntos racionales (no incluyendo el infinito). La única solución con $y$ incluso ya se ha mencionado en los comentarios.

Edit: Gracias a Álvaro Lozano-Robledo para encontrar la referencia, y Keith Conrad para que me informa que el resultado sólo es citado en la referencia, no probado. Sin embargo, ahora estoy seguro de que el resultado es verdadero, y tener una idea de la prueba. Álvaro Lozano-Robledo propuso una estrategia de uso de $2$-el descenso a mostrar que el rango de esta curva es $0$, y a continuación, utilizando el Nagell-Lutz teorema para encontrar los puntos de orden finito. Voy a volver a este post en alguna cantidad finita de tiempo después de hacer un poco más de lectura y ver si me pueden proporcionar la prueba.

Answer 3

Que busca para soluciones del número entero positivo a $(2a)^2 = b^3+1$, o equivalente para $(2a-1)(2a+1)=b^3$.

Ahora tenemos dos números consecutivos impares en el lado izquierdo, por lo que son relativamente privilegiadas (cualquier factor común se tiene que dividir $2$, y son impares). Por lo tanto ambos deben ser cubos.

Ahora es fácil demostrar que dos cubos consecutivos $x^3$ y $(x+1)^3$ están separados por $3x^2+3x+1$ que sería más de $2$ % positivas $x$.

Answer 4

Conjetura de catalán afirma que no hay dos potencias (con exponentes $\geq2$) de números naturales a distancia $1$ unos de otros, aparte de $8$ y $9$. La conjetura ha sido probada por Preda Mihailescu en 2002.