Edit: Para condensar los comentarios que he puesto muchos de mis explicaciones en la respuesta real.
Por qué Spivak utiliza esta secuencia determinada (hm): "si $n\geq m$, $10^nh_m$ es un número entero, así que..." no tienes tan bonita propiedad con $1/m^2$. Esta secuencia funciona especialmente bien con esta $f$, pero por supuesto que hay funciones que no serán tan bonito. Spivak no se puede utilizar el $n$ porque $n$ es el índice de la serie, y $n$ $m$ no tienen nada que ver uno con otro. Además, los diferencia de los cocientes denotar el mismo número.
$0\leq a < 1$ es suficiente, porque si la expansión decimal de a se puede escribir $a=a_0.a_1a_2a_3...$, entonces podemos separar esta como $a=\phi+\theta$ donde $\phi=a_0$ es un número entero y $\theta=0.a_1a_2a_3...$... es en $[0,1)$. Ahora $\{10^na\}=\{10^n(\phi+\theta)\}=\{10^n\phi+10^n\theta\}=\{10^n\theta\}$ porque $10^n\phi$ es un número entero, por lo que sólo la "parte decimal" de la número $a$ realmente afecta el valor de $f(a)$.
En los comentarios:
1) Spivak sabe que la secuencia de $(h_m)$ se utiliza aquí funciona porque él ha trabajado la prueba antes de la escritura hacia abajo. Él no explica cómo llegó a $(h_m)$, lo cual es ciertamente inusual para su estilo expositivo dentro de este libro. Sin embargo, esto es una ocurrencia común en matemáticas de la exposición, donde los productos finales (por ejemplo, las pruebas en libros, artículos, etc.) tienden a ser pulido y los detalles de cómo la prueba fue descubierto son superfluas. Por otra parte, a veces es más fácil dejar que el lector vea que una técnica de obras que explicar de dónde vino, especialmente la técnica es básicamente un truco como el que se usa aquí.
2) Spivak elige el índice de $m$ $(h_m)$ y la diferencia cociente $\displaystyle \frac{f(a+h_m)-f(a)}{h_m}$, en lugar del de la serie del índice de $n$ porque $m$ $n$ no están relacionados, por lo que no haría por los índices a ser el mismo. Tenga en cuenta que
$\displaystyle \frac{f(a+h_m)-f(a)}{h_m} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n}\frac{\{10^n(a+h_m)\}-\{10^na\}}{\pm 10^{-m}}$ y esto es no lo mismo como
$\displaystyle \frac{f(a+h_n)-f(a)}{h_n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n}\frac{\{10^n(a+h_n)\}-\{10^na\}}{\pm 10^{-n}}$
porque en la primera ecuación, $m$ es fijo y no cambia a medida que varían $n$ durante la sumatoria.
3) $\{10^n(a+h_m)\}-\{10^na\}=0$, $n \geq m$: ¿por qué es esto cierto? En primer lugar, hemos de tener una idea de la $\{\cdot\}$ operación. $\{\cdot\}$ es la distancia al entero más cercano: $\{1.3\}=\{1.7\}=0.3$, $\{1.1\}=\{1.9\}=0.1$, $\{n\}=0$ para cualquier entero $n$, e $\{a+n\} = \{a\}$ para cualquier entero $n$. Bien, se nota que $10^nh_m$ es un número entero al $n \geq m$. Ahora, $\{10^n(a+h_m)\}=\{10^na+10^nh_m)\} = \{10^na\}$ desde $10^nh_m$ es un número entero.
4) $(a_m\pm 1)$ proviene de $(a+h_m)$. $h_m=\pm 10^{-m}$, así que si $a=a_0.a_1a_2a_3...a_m...$$a+h_m = (a_0.a_1a_2a_3...a_m...)\pm 10^{-m} = a_0.a_1a_2a_3...a_m\pm 1...$ .
5) en Referencia a la prueba de la no-la diferenciabilidad para el resto de su ecuación: $y_i$ más probable es la abreviatura de "$y_0$ o $y_1$." Yo habría escrito "$y_i$, $i=0,1$."
6) Este paso es una consecuencia de la inversa de la desigualdad del triángulo (usted puede encontrar su declaración y prueba en la Wikipedia).
Tenemos $\displaystyle |f(y_0)-f(y_1)| = \left|\sum_{k=1}^\infty f_k(y_0)-f_k(y_1)\right| = \left|(f_n(y_0)-f_n(y_1)) - \left(\sum_{k \neq n} f_k(y_1)-f_k(y_0)\right)\right|\\
\geq \displaystyle \left| |f_n(y_0)-f_n(y_1)| - \left| \sum_{k \neq n} f_k(y_1)-f_k(y_0)\right| ~ \right|$ where the last part follows from the reverse triangle inequality. Now the last term is $\displaystyle \geq |f_n(y_0)-f_n(y_1)| - \left| \sum_{k \neq n} f_k(y_0)-f_k(y_1)\right| \geq |f_n(y_0)-f_n(y_1)| - \sum_{k \neq n} |f_k(y_0)-f_k(y_1)|$ a través del triángulo regular la desigualdad, por lo que llegamos a la conclusión de que
$\displaystyle |f(y_0)-f(y_1)| \geq |f_n(y_0)-f_n(y_1)| - \sum_{k \neq n} |f_k(y_0)-f_k(y_1)|$.
El paso siguiente se aplica a las estimaciones que hemos obtenido hasta el momento. La suma va de $k=1$ $k=n-1$porque $k > n$,$f_k(y_0)=f_k(y_1)$, lo $f_k(y_0)-f_k(y_1)=0$, por lo que podemos ignorar todos los términos de la suma con $k > n$. El $k=n$ plazo no está aún en la suma, ya que estamos sumando más de $k \neq n$; lo llevamos a cabo en el comienzo de la $f_n(y_0)-f_n(y_1)$ plazo.
