Rigurosa justificación para la rotación de onda aproximación

Question

Siempre me he encontrado con la rotación de la onda de aproximación, he visto a "los términos que estamos descuidando corresponden a las rápidas oscilaciones en la interacción de Hamilton, por lo que tendrá un promedio de a 0 en un periodo de tiempo razonable" como la justificación de su uso. Sin embargo, no es completamente claro para mí por qué hace esto justifica que el Hamiltoniano que obtenemos es una buena aproximación de la original, y me preguntaba si hay un más riguroso de la versión de la justificación, si es para un sistema en particular, o en un caso más general.

Como un ejemplo, algo que sería una respuesta satisfactoria sería un resultado de la forma "Si usted piensa que una arbitraria del estado del sistema y de cualquier tiempo t suficientemente grande, y evolucionar el sistema de acuerdo a los RWA de Hamilton, se obtiene con alta probabilidad un estado cercano a la que podríamos obtener en virtud de la evolución de la original de Hamilton". "t suficientemente grande", "cerca" y "alta probabilidad" de preferencia, tener una buena descripción cuantitativa.

Answer 1

La rotación de la onda de la aproximación (RWA) está bien justificado en un régimen de una pequeña perturbación. En este límite se puede descuidar el llamado Bloch-Siegert y Stark turnos. Usted puede encontrar una explicación en este documento. Pero, con el fin de hacer que esta explicación es auto-contenida, voy a dar una idea con el siguiente modelo

$$H=\Delta\sigma_3+V_0\sin(\omega t)\sigma_1$$

siendo, como de costumbre $\sigma_i$ las matrices de Pauli. Usted puede fácilmente averiguar una pequeña perturbación de la serie para este Hamiltoniano de trabajo en la interacción de la imagen con

$$H_I=e^{-\frac{i}{\manejadores}\sigma_3t}V_0\sin(\omega t)\sigma_1e^{\frac{i}{\manejadores}\sigma_3t}$$

la producción, con una Dyson serie, el siguiente más próximo-a-líder de la orden de corrección

$${\cal T}\exp\left[-\frac{i}{\manejadores}\int_0^tH_I(t')dt'\right]=I-\frac{i}{\manejadores}\int_0^t dt' V_0\sin(\omega t')\sigma_1e^{\frac{2}{\manejadores}\Delta\sigma_3t'}+\ldots.$$

Ahora, supongamos que el sistema está en el eignstate $|0\rangle$ de la imperturbable de Hamilton. Usted recibirá

$$|\psi(t)\rangle=|0\rangle-\frac{i}{\manejadores}\int_0^t dt' V_0\sin(\omega t')e^{-\frac{2}{\manejadores}\Delta t}\sigma_1|0\rangle+\ldots$$ $$=|0\rangle-\frac{1}{2\manejadores}\int_0^t dt' V_0\left(e^{i\omega t'-\frac{2}{\manejadores}\Delta t'}-e^{-i\omega t'-\frac{2}{\manejadores}\Delta t}\right)\sigma_1|0\rangle$$

Ahora, muy cerca de la resonancia $\omega\approx2\Delta$, un término es abrumadora grande con respecto a los otros y uno puede escribir

$$|\psi\rangle\aprox|0\rangle-\frac{V_0}{2\manejadores}t\sigma_1|0\rangle+\ldots.$$

pero en el original de Hamilton esto se reduce a

$$H_I=V_0\sigma_1\sin(\omega t)\left(\cos(2\Delta t)+i\sigma_3\sin(2\Delta t)\right)$$ $$a=\frac{V_0}{2}\sigma_1\left(\sin((\omega-2\Delta)t)+\sin((\omega+2\Delta)t)\right)$$ $$+\frac{V_0}{2}\sigma_2\left(\cos((\omega-2\Delta)t)-\cos((\omega+2\Delta)t)\right)$$ $$\approx \frac{V_0}{2}\sigma_2$$

con todos los contra-rotación términos correctamente descuidado con la condición $\omega\aprox 2\Delta$ aplicado. Es esencial subrayar que, como el campo aplicado aumenta, esta aproximación es aún menos fiable, y es justamente el orden principal de una serie de perturbaciones en una cerca de resonancia régimen.