demostrar que $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3 > 0.$

Question

Si $x<y<z$ es números reales, demostrar que %#% $ #%

Intento de

Tenemos que $$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3 > 0.$. Agrupación los rendimientos $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=-3 x^2 y+3 x^2 z+3 x y^2-3 x z^2-3 y^2 z+3 y z^2$. Entonces yo estaba pensando usar cambio pero luego llego $3(x^2z+xy^2+yz^2)-3(x^2y+xz^2+y^2z)$ $\geq$.

Answer 1

Observe que el polinomio $$S = (x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$ $ es cero siempre que dos de las variables son iguales, por lo que debemos tener $$S = C(y-x) (z-x) (z-y)$ $ $C$ constante. Un cómputo directo da $C=3$ y el resultado sigue puesto que todos los factores son positivos cuando $x < y < z$.

Answer 2

Porque es sólo las diferencias en las variables que importan, nos podemos restar el menor valor ($x$) de cada término:

$-y^3 + (y-z)^3 + z^3 > 0$.

Que $y = d_1$y $z-y = d_2$ y nota $z = d_1 + d_2$. A continuación:

$-d_1^3 - d_2^3 + (d_1 + d_2)^3 > 0$.

Simplificar:

$3d_1 d_2^2 + 3 d_1^2 d_2 >0$.

o

$3(d_1 d_2)(d_1 + d_2) > 0$.

Answer 3

Sugerencia:

Si $a+ b +c=0, a^3+b^3+c^3=3abc$

Answer 4

Convertir su expresión para que todo lo que es elevado al cubo es positivo:

$$(z-x)^3 - (z-y)^3 - (y-x)^3$$ $$(A+B)^3-A^3-B^3$$

$A,B$ positiva. Cubicación es cóncava hacia arriba con $0^3=0$, esta expresión debe ser positiva.

Answer 5

Sugerencia, $(z-x)^3=\left((z-y)+(y-x)\right)^3$.