$ \phi ^{n}$ las teorías de campo cuántico escalar donde $n$ no es un número entero

Question

Considere una teoría de campo cuántico escalar con términos de interacción de la forma $ \phi ^{n}$ donde $n$ no es un número entero.

¿Dónde hay algunos ejemplos de teorías de campos cuánticos ampliamente estudiadas que impliquen esos términos de interacción?

Answer 1

Una teoría de perturbación en la que es la diferencia de la $\phi^n$ El exponente de 2 se toma como parámetro de perturbación ha sido propuesto por Bender, Milton, Moshe, Pinsky y Simmons en su artículo : Nuevo esquema perturbador en la teoría cuántica de campos.

Este método se denomina $\delta$ - expansión.

Consulte lo siguiente artículo donde los fundamentos del método se explican en la sección 2.

La construcción básica del método se basa en la siguiente descomposición de Taylor del término de interacción:

$$(\phi^2)^{1+\delta} = \phi^2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\delta^n}{n!}\phi^2 (\mathrm{log}(\phi^2))^n $$

Se puede observar que cuando $\delta = 0$ el término de interacción es cuadrático y la teoría es libre, mientras que cuando $\delta = 1$ la teoría se convierte en la habitual $\phi^4$ teoría. En el análisis de la expansión delta, el potencial cuántico efectivo se calcula orden por orden alrededor de la teoría libre correspondiente a $\delta = 0$ . La teoría obtenida es perturbadora en $\delta$ pero no perturbativo en la constante de acoplamiento y la masa.

Cada cálculo de orden implica un término de interacción logarítmico. Este término se trata como un límite de una derivada de una potencia

$$ \mathrm{log}(x) = \lim_{k \to 0} \frac{d}{dk}x^k$$

Así, los cálculos se realizan para una teoría polinómica $(\phi^2)^k$ pero sólo los términos principales en k para $k \rightarrow 0$ deben ser calculados. Para tal teoría, los vértices de los diagramas de Feynman serán de $2k$ líneas. Además, es posible realizar cálculos variacionales orden por orden en $\delta$ .

Esta expansión dio excelentes resultados para problemas de mecánica cuántica y modelos resolubles en 1+1 dimensiones.

El $\delta$ expansión se utilizó para argumentar la trivialidad de $\phi^4$ teoría, pero no aportó una prueba definitiva. Se realizaron algunos trabajos para su adaptación a teorías con fermiones (lineal $\delta$ expansión), la teoría gauge y los modelos de la física estadística.