Es $d(x,y)=(x-y)^2$ una métrica válida en $\mathbb R$ ?

Question

Es $d(x,y)=(x-y)^2$ una métrica válida en $\mathbb R$ ?

Así que obviamente $d(x,y)=(x-y)^2\ge0$ para todos $x,y \in \mathbb R$ y la igualdad si $x=y$ y también es simétrico $d(x,y)=d(y,x)$ . Pero, ¿cómo puedo comprobar si $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ ?

He intentado $d(x,z)=(x-z)^2=\lvert x-z\rvert ^2\le (\lvert x-y\rvert + \lvert y-z \rvert)^2$ pero hay un sobrante $2\lvert x-y \rvert \lvert y-z \rvert$ término

Answer 1

$$(3-1)^2\stackrel{\color{red}?}\le (3-2)^2+(2-1)^2$$

Answer 2

$$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z) \iff (y-x)(y-z) \ge 0$$

¡no siempre es cierto! La desigualdad del triángulo falla.

Answer 3

No es una métrica:

$(1-0)^2+(2-1)^2 \leq(2-0)^2$