Expresión de la distancia hiperbólica en el semiplano superior

Question

Buscando una expresión de la distancia hiperbólica en el semiplano superior $\mathbb{H}=\{z=x +iy \in \mathbb{C}| y>0\},$ Me encontré con dos expresiones diferentes. Ambas en Wikipedia.

En la página Modelo semiplano de Poincaré se indica explícitamente que la distancia de $z,w \in \mathbb{H}$ es: $$d_{hyp}(z,w)= Arccosh(1+ \frac{|z-w|^2}{2 Im(z) Im(w)}).$$ En la página Métrica de Poincaré se afirma que la métrica en el semiplano superior es : $$\rho(z,w)=2 Arctangh(\frac{|z-w|}{|z-\bar w|}).$$

Al principio pensé que habría sido un ejercicio fácil demostrar la equivalencia de las dos expresiones. Pero primero fracasé en el intento y luego encontré, usando Mathematica, un contraejemplo (es decir $z=2i$ y $w=i$ ).

Pregunta : Si no son iguales, ¿cuál de las dos expresiones es la correcta? Entonces, ¿cómo se relaciona la métrica con la distancia inducida?

La pregunta probablemente sea tonta, pero a menudo me confundo sobre las relaciones entre objetos "métricos".

Muchas gracias por su tiempo.

Answer 1

Para verificar la consistencia de las fórmulas, recordemos estas identidades:

$$1 - \tanh^2 d = \mathrm{sech}^2 d \qquad \qquad \cosh^2\frac{d}{2}=\frac{1+\cosh d}{2}$$

La fórmula de la "métrica de Poincare" es equivalente a esta forma:

$$\tanh\frac{d}{2} = \frac{p}{q}$$

así que...

$$\begin{align} \mathrm{sech}^2\frac{d}{2} &= \frac{q^2-p^2}{q^2} \\ \implies \qquad \frac{1 + \cosh d}{2} &= \frac{q^2}{q^2-p^2} \\ \implies \qquad \cosh d &= \frac{q^2+p^2}{q^2-p^2} \end{align}$$

Ahora, con $w := u + i v$ y $z := x + i y$ y $p := |z-w|$ y $q := |z-\overline{w}|$ tenemos

$$\begin{align} q^2+p^2 = |z-\overline{w}|^2+|z-w|^2 &=\left( (x-u)^2+(y+v)^2 \right)+|z-w|^2 \\ &=\left( (x-u)^2+(y-v)^2+4yv \right)+|z-w|^2 \\ &=4yv+2|z-w|^2 \\ q^2-p^2 = |z-\overline{w}|^2-|z-w|^2 &=(x-u)^2+(y+v)^2-(x-u)^2-(y-v)^2 \\ &=4yv \end{align}$$

Así,

$$\cosh d = 1 + \frac{\;|z-w|^2}{2yv}$$

Answer 2

La distancia entre dos puntos es el valor absoluto de la diferencia de parámetros a lo largo de una geodésica de velocidad unitaria que une sus dos puntos. Después, puedes derivar las expresiones de forma cerrada que quieras.

Dadas unas constantes reales $A$ que puede ser cualquier cosa, y luego $B > 0,$ los dos tipos de geodésicas, parametrizadas por $t,$ son $$ A + \; i \, e^t $$ que es vertical, y $$ A + B \, \tanh t \; + \; i \, B \; \mbox{sech} \; t $$ que es un semicírculo con centro en $A$ en el eje real. Tenga en cuenta que, si sus dos puntos no tienen la misma parte real, es necesario trazar la mediatriz del segmento de recta entre ellos y ver el lugar donde se cruza con el eje real, que se convierte en $A.$

Tenga en cuenta que $$ 1 + \sinh^2 t = \cosh^2 t, $$ dividir por $\cosh^2 t$ para obtener $$ \mbox{sech}^2 t + \tanh^2 t = 1. $$ Además, $\cosh t \geq 1,$ así que $0 < \mbox{sech} \; t \leq 1.$ Hemos dado una forma bastante natural de parametrizar un semicírculo sin sus puntos extremos.

Merece la pena demostrar que se trata realmente de geodésicas. O, al menos, confirmar que son de velocidad unitaria.

Answer 3

He obtenido el mismo resultado $\ln 2$ para las dos expresiones. Tenga cuidado con el uso de $arc ~cosh (x)= ln( x+ \sqrt{x^2 -1})$ no $ln( x- \sqrt{x^2 -1})$

¿Por qué? Porque tiene $$\displaystyle\frac{e^d+e^{-d}}{2}=1+\frac{|z-w|}{2\cdot Im ~z\cdot Im ~w} $$ y para obtener el valor mayor $e^d$ en la ecuación de segundo grado resultante, se necesita el + .