Números primos dividir un elemento de un conjunto

Question

Mostrar que si $p$ es un número primo distinto de 2 y 5, a continuación, divide al menos uno de los elementos de las $\left \{ 1,11,111,1111,...\right \}$.

Answer 1

Ampliando mi comentario, aquí es una solución directa.

Considerar la secuencia de $u_{n+1}=10u_n\mod p$,$u_0=1$. Se puede llevar a cabo sólo un número finito de valores, por lo que es periódica con un periodo $k$.

Usted también tiene que $u_n=10^n\mod p$, por lo que la periodicidad que se lee:

$$10^{n+k}\equiv10^n\pmod{p}$$

Y desde $p$ es coprime a $10$, factor $10^n$, y

$$10^{k}\equiv1\pmod{p}$$

Es decir, $p$ divide $10^k-1=999\dots999$.

Si el primer número $p$ es mayor que $5$, por lo que se hace, dividiendo por $9$. El caso restante se $p=3$ divide $111$.

Aviso que de manera repetitiva computing $10u_n \mod p$,$u_0=1$, es sólo otra manera de escribir la división larga de $1$$p$.

Answer 2

Deje $x=0.\overline{a_1a_2a_3\dots a_n}$ ser el número decimal con $n$ periódico decimales en base $10$. Entonces: $$10^nx=\overline{a_1a_2a_3\dots a_n}.\overline{a_1a_2a_3\dots a_n}$$ $$10^nx-x=\overline{a_1a_2a_3\dots a_n}$$ $$(10^n-1)x=\overline{a_1a_2a_3\dots a_n}$$ $$x=\dfrac{\overline{a_1a_2a_3\dots a_n}}{10^n-1}$$ A partir de esto se puede ver que cualquier número $\overline{a_1a_2a_3\dots a_n}$ es divisible por $10^n-1$ fib $x$ periódicos decimales. No hay ningún número entero positivo que divide por $2$ $5$ dar periódico en forma de número decimal, por lo que para cualquier otro número es divisible por $10^n-1$.

Answer 3

La transformación de $f(x) = 10x + 1$ es invertible en a $\mathbb{Z}_p$ $p$ coprime con 10. Desde $f(0) = 1$, 0 y 1 están en la misma órbita. El conjunto $\{1, 11, 111, \ldots\}$ es precisamente esta órbita.