Supongamos que tenemos una acción de un toroide sobre una variedad orientada compacta M. Supongamos que la acción tiene puntos fijos aislados. ¿Por qué la clase de Euler equivariante del haz normal en el punto fijo (es decir, el espacio tangente en ese punto) es (hasta un signo) el producto de los pesos de la acción del álgebra de mentira del Toro sobre el espacio tangente en ese punto? (Quizá sea obvio, pero no lo veo).
Respuestas
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Paul
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Permítanme responder a la pregunta, bajo una interpretación diferente de la palabra "por qué".
En primer lugar, de qué se trata el producto de cohomología [X] [Y], donde X,Y son ciclos y [X],[Y] sus duales de Poincar'e? Se podría decir que mide la incapacidad de de separar X de Y.
Ahora, tratemos de separar el origen de sí mismo, donde [pt] denota la clase del origen en un espacio vectorial V. Bastante fácil (si dim V > 0). Entonces diríamos que [pt]^2 = 0.
Sin embargo, de forma equivariante, podemos tener problemas; puede que no haya puntos fijos de T cercanos. Esto es exactamente la cuestión de si hay algún peso 0 en la acción de T sobre V.
Así que [pt]^2 debe ser algún múltiplo de [pt], que desaparece si hay un peso 0. Además debe ser homogéneo de grado = codim(pt en V). Además debe comportarse bien bajo la contracción de T. Esto se acerca bastante a forzar que sea el producto de los pesos.
Chad Cooper
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Estoy interpretando tu pregunta como "¿En qué sentido la clase de Euler equivariante de una representación del toro, pensada como un haz vectorial en el punto, es sólo el producto de los pesos de la representación?" Como las clases de Euler se multiplican bajo la suma directa, basta con responder a esta pregunta para una representación 1-d.
Ahora bien, es un principio general que si un espacio es agradable en algún sentido, habrá una biyección entre haces de líneas complejas sobre ese espacio y $H^2(X;\mathbb{Z})$ a través de la primera clase de Chern. Una forma de pensar en esta correspondencia es que un haz de líneas está definido por un elemento de $H^1(X;\mathcal{O}^*)$ donde $\mathcal{O}^*$ son los elementos no evanescentes de cualquier gajo de funciones que sea relevante. Mientras la cohomología de la gavilla de $\mathcal{O}$ es aburrido, el mapa de frontera en la secuencia exacta larga para la secuencia exponencial $\mathbb{Z}\to \mathcal{O}\to\mathcal{O}^*$ induce este isomorfismo.
Entonces, ¿qué significa esto equitativamente? Bien, recuerda que la cohomología equivariante es la cohomología de un espacio. En el caso de un punto, es la cohomología del espacio clasificador $BT$ .
Por otro lado, un haz de líneas en $BT$ es lo mismo que una representación unidimensional de $T$ ; se utiliza la construcción estándar de paquetes asociados.
Así, por el argumento anterior, obtenemos una identificación entre caracteres de $T$ y $H^2_T(pt;\mathbb{Z})$ . Esto se utiliza implícitamente cuando se hace una afirmación como "la clase de Euler equivariante del haz normal en el punto fijo (es decir, el espacio tangente en ese punto) es (hasta un signo) el producto de los pesos de la acción del álgebra de mentira del Torus sobre el espacio tangente en ese punto", pero habiendo fijado este isomorfismo, la afirmación anterior se vuelve tautológica.
rslite
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Hola, tal vez esto puede hacer más explícita la correspondencia anterior:
Deje $G$ $\ell$- dimensiones algebraicas toro. Denotar por $\Xi(G)\simeq \mathbb Z^\ell$ el grupo de personajes de $G$ que consta de todos los grupo continuo homomorphisms $G\to \mathbb C^*$. Tomar cualquier $\chi \in \Xi(G)$, se define un unidimensional de la representación compleja de $G$ espacio $\mathbb C_\chi$. Podemos asociar un complejo paquete de $L_\chi$ $\mathbb B_G$ por:
$ L_\chi := (\mathbb E_G \times_G \mathbb C_\chi) \a \mathbb B_G. $
Denotar por $c(\chi):= c_1(L_\chi)\in H^2(\mathbb B_G)$ su primera clase de Chern. Deje $\operatorname{Sym}_\mathbb Z^*(\Xi_G)$ ser el álgebra simétrica del grupo $\Xi(G)$. Es un polinomio de anillo en la $\ell$ generadores de grado $1$, y el mapa de $c\colon \chi\mapsto c(\chi)$ se extiende a un anillo de isomorfismo:
$ c\colon \operatorname{Símbolo}_\mathbb Z^*(\Xi_G) \stackrel{\sim}\ H^*(\mathbb B_G) $
que los dobles grados. Es llamado la característica homomorphism.
Ahora, en un aislado de punto fijo bajo la acción con los personajes de $\chi_1,\dots, \chi_n$ uno:
$(\mathbb E_G \times_G T_X) = L_{\chi_1}\oplus\dots\oplus L_{\chi_n}.$
El equivariant de euler de la clase es sólo la parte superior ordinarias clase de Chern $c_{\operatorname{top}} (\mathbb E_G \times_G T_X)$, y se puede concluir por Whitney fórmula de la suma.
Ant
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Así que estás diciendo que, necesitamos calcular la clase de Euler equivariante de un haz de líneas complejo sobre un punto y como la primera clase de chern equivariante es la misma que esta, la secuencia de gavillas exponenciales nos ayudará. Pero, estoy un poco confundido sobre este asunto de la clase de chern equivariante. Es decir, te agradecería mucho que hicieras un poco más explícita la correspondencia entre los caracteres de T y H^2 (pt).
