Es irracional veces racional siempre irracional?

Question

Es un número irracional veces un número racional siempre irracional?

Si el número racional es cero, entonces el resultado será racional. Por lo que podemos concluir que, en general, no podemos decidir, y depende del número racional?

Answer 1

Cualquier número racional distinto de cero veces un número irracional es irracional. Deje $r$ ser distinto de cero y racional, y x irracional. Si $rx=q$ $q$ es racional, entonces $x=q/r$, que es racional. Esta es una contradicción.

Answer 2

Si $a$ es irracional e $b\ne0$ es racional, entonces $a\,b$ es irracional. Prueba: si $a\,b$ eran iguales a una racional $r$, entonces tendríamos $a=r/b$ racional.

Answer 3

Reclamo: Si $x$ es irracional e $r \ne 0$ es racional, entonces $xr$ es irracional.

Prueba: Supongamos que $xr$ fueron racional. A continuación, $x = \frac{xr}{r}$ sería racional (como el cociente de dos racionales). Esto claramente contradice la suposición de que $x$ es irracional. Por lo tanto, $xr$ es irracional.

El $r = 0$ caso es especial, y el argumento anterior no funciona.

Answer 4

Irracional de los tiempos de los no-cero racional es el número irracional. Si no, supongamos que a es un número irracional y b es distinto de cero número racional tal que ab=c, donde c es un número racional.Como la colección de todos los números racionales de los formularios de campo.por lo que cualquier no-cero racional es invertible.Lo que implica es un número racional, que no es cierto.