Conjunto de todos los Interiores de Automorfismos es un subgrupo del conjunto de todos los Automorfismos de un grupo de $G$

Question

Mostrar que el conjunto de todos los interiores de automorfismos de a $G$, vamos a denotar como $\mathrm{Inn}(G)$, es un subgrupo del conjunto de todos los automorfismos de a $G$, vamos a denotar $\mathrm{Aut}(G)$, donde tomamos $\mathrm{Aut}(G)$ a la operación de la función de la composición.

Me han demostrado que $\mathrm{Inn}(G)$ no está vacío y que es cerrado bajo la composición de funciones. Ahora estoy tratando de mostrar que los inversos de interior automorfismos son también interior de automorfismos.

Esto es lo que tengo hasta ahora en este sentido:

$f:G \rightarrow G$ es un interior automorphism con $f(x)=c^{-1}xc$ fijos $c \in G$. Si $a \in G$ desde $f$ es un isomorfismo, es también un bijection y así hay algunos $x,y \in G$ donde$f(x)=a$$f(y)=c$. De ello se desprende $x=f^{-1}(a)$ $y=f^{-1}(c).$ por lo tanto $$f^{-1}(a)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(c^{-1}xc)=\left[ f^{-1}(c)\right]^{-1}f^{-1}(x)f^{-1}(c)=y^{-1}f^{-1}(x)y.$$

En este punto quiero $f^{-1}(x)=a$ pero, a continuación,$x=f(a)$, lo que parece sospechoso como, a continuación, $x=c^{-1}ac$ entonces $f(x)=f(c^{-1}ac)=(c^{2})^{-1}ac^2=a$ $(c^{2})^{-1}a=a(c^{2})^{-1}$ pero no estamos asumiendo $G$ es abelian. Algún consejo?

Answer 1

Usted puede hacer que a través de este hecho de que $Inn(G)$ es no vacío (Ustedes lo han demostrado) y el hecho de que para todos los $g,h\in G$ $$f_gf_h=f_{gh}$$ so $$f_gf_g^{-1}=f_e$$ where $e$ is the identity of the group (You can see that $f_e$ is the identity of $Aut(G)$). so $$(f_g)^{-1}=f_{g^{-1}}$$ and from this we have $$(f_g)^{-1}f_h=f_{g^{-1}}f_h=f_{hg^{-1}}\in Inn(G)$$ Aquí se satisface la condición en la que cualquier subconjunto de un grupo debe tener para ser un subgrupo.

Answer 2

Estás overthinking. ¿Cómo se cancela fuera de la conjugación por $c$? Trate de conjugación por $c^{-1}$.

$$(c^{-1})^{-1}f(x)c^{-1}=cc^{-1}xc^{-1}c=x$$

Answer 3

Interior automorphism, como un subconjunto de automorphism es, por supuesto, bijective. Así que usted no necesita probar que. Todo lo que usted necesita es para demostrar que es cerrado bajo la composición del mapa, que es hacia adelante, contiene la identidad, la cual también es fácil, y existe una relación inversa, por lo que simplemente tome $(f_c)^{-1}$$f_{c^{-1}}$.

Answer 4

La forma más fácil de mostrar que una función tiene inversa es escribir la inversa. Es a menudo el caso de que es muy difícil escribir una inversa de forma explícita, pero en este caso en particular es fácil.

¿Qué sucede si usted conjugado por $c$ y, a continuación, conjugada por $c^{-1}$?

Answer 5

Me gustaría unirme a probar algo más teniendo en cuenta el mapa $$ \varphi : G \a \operatorname{Aut}(G), \qquad g \mapsto (x \mapsto g x g^{-1}) $$ que los mapas de $g \in G$ para el interior automorphism $f_{g} : x \mapsto g x g^{-1}$.

Mostrar que $\varphi$ es un homomorphism de grupos. Lo que se deduce que su imagen $\operatorname{Inn}(G)$ es un subgrupo de $\operatorname{Aut}(G)$. Por otra parte, el primer teorema de isomorfismo le dirá que hay un isomorfismo $$ \frac{G}{\operatorname{ker}(\varphi)} \cong \operatorname{Inn}(G), $$ y uno puede comprobar que $\operatorname{ker}(\varphi) = Z(G)$ es el centro de la $G$.