Cómo pensar de una función como un vector?

Question

Con el fin de aplicar los conceptos de espacios vectoriales de funciones, el texto que he (Wavelets para Gráficos por Ordenador: Teoría y Aplicaciones por Stollnitz, DeRose y Salesin) muy bien dice

Puesto que la suma y la multiplicación escalar de funciones están bien definidas, podemos entonces pensar de cada función constante en el intervalo de $[0,1)$ como un vector, y vamos a dejar de $V^0$ denota el espacio vectorial de todas las funciones.

Ok, por lo que he oído esta idea antes, y que tiene algo de sentido. Usted desea aplicar las reglas de espacios vectoriales (y definir cosas como el producto interior) por funciones, por lo que ir y decir "una función es un vector."

Pero, ¿cómo esta malla con la tradicional de la física definición de vector? Un vector debe tener una magnitud y una dirección. ¿Qué está pasando aquí entre el álgebra y física?

Answer 1

Las matemáticas y la física no son realmente compatibles.

En el plano o el espacio en 3D (y así sucesivamente) está bien para representar un espacio vectorial como una magnitud y una dirección.

Sin embargo, la definición formal de un espacio vectorial, no requiere la necesidad de con el fin de representar un vector. De hecho, un vector - formalmente - es sólo un elemento de un espacio vectorial.

Esto puede ir, no todos los espacios vectoriales tienen normas definidas sobre ellos. Sin el axioma de elección, no todos tienen una base, la descomposición en suma directa, no trivial funcionales, y así sucesivamente.

Del mismo modo, no todos los espacios topológicos son normales, regulares, Hausdorff, etc., sin embargo nos gusta pensar que el mundo físico como $\mathbb R^3$ lo cual es normal, regular, Hausdorff, etc..

En el finito dimensionales caso, o asumiendo el axioma de elección, tenemos una base para el espacio. Es que todo vector se puede escribir como una combinación lineal de los elementos de la base. Usted puede pensar que el vector, si es así, como una función de un conjunto en el campo.

El conjunto, por supuesto, es la base; o algún otro juego con el mismo número de elementos. Para un vector $v = \sum_{n=1}^k\alpha_n\cdot v_n$ podemos pensar de $v$ como una función de un conjunto de $\{1,\ldots,k\}$ en el campo: $v(n)=\alpha_n$. Por supuesto, después de cambiar un fundamento que "un cambio en la función", pero esta es la razón por espacios vectoriales son isomorfos y no el mismo.

Answer 2

Cualquier vector es una función en el sentido trivial de que puede volver a interpretarlo como el trivial constante mapa de enviar algo a un determinado vector, $f_v:D\to\{v\}\in V$. De este modo todos los $v\in V$ puede ser entendido como el "asociado a la función" $f_v$, independientemente de dominio $D$.

La otra dirección - la idea de que las funciones pueden formar un espacio vectorial - es más general que la de la costumbre, $\mathbb{R}^n$ espacios vectoriales con canónicamente entendido la magnitud y dirección, que ambos vienen de un producto interior $\langle\cdot,\cdot\rangle$$V$. La idea general es que el análisis vectorial proporciona un modelo para situaciones en las que los objetos matemáticos se puede descomponer en una combinación lineal de los componentes de un campo de escalares (y módulos si más de un anillo). De esta manera se forma el telón de fondo natural de álgebra lineal, que de nuevo no viene siempre con un formalismo geométrico en todas las circunstancias, pero que coinciden exactamente en los casos obvios. Línea inferior: Es sólo la práctica universal en matemáticas de notar que una estructura es un caso menor de uno más grande, donde a veces la primera o la más pequeña de la estructura tiene un significado especial (por ejemplo, geometría) asociados a la misma.

Answer 3

Lo que está pasando aquí es que la física y las matemáticas el uso de la palabra con diferentes (pero relacionadas) significados. Es sólo un problema de terminología, en realidad no esconde nada profundo técnicamente.

Todo lo que la física llama un vector es también un vector en matemáticas. Pero hay cosas que los matemáticos llaman vectores que los físicos no. Mi entendimiento es que el físico del sentido de "vector" se corresponde mejor a lo que las matemáticas llamaría un "vector tangente" de un colector. (Los familiares $\mathbb R^3$ vectores en el espacio Euclidiano son un caso especial de esto).

Ciencia de la computación tiene una tercera, pero una vez más diversas, el sentido de "vector". Eso es algo lamentable, pero a la larga sólo la forma en que el mundo es.