Fórmula general para obtener números triangulares-cuadrados

Question

Estoy tratando de encontrar una fórmula general para los números cuadrados triangulares. He calculado algunos términos de la sucesión triangular-cuadrada ( $TS_n$ ):

$TS_n=$ 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600

He conseguido encontrarlo:

$m^2 = \frac{n(n+1)}{2}$

donde $m$ es el $m^{th}$ término de la secuencia numérica cuadrada, y $n$ es el $n^{th}$ término de la secuencia de números triangulares.

¿Podría alguien indicarme algo que me ayude a derivar una fórmula para la secuencia triangular cuadrada?

Answer 1

Como todos los números triangulares son de la forma $\frac{n(n+1)}{2}$ debemos tener la condición citada $$ m^2=\frac{n(n+1)}{2}\tag{1} $$ Ecuación $(1)$ equivale a $$ 2 = \frac{(2n+1)^2-1}{(2m)^2}\tag{2} $$ Según la teoría estándar de las fracciones continuas, una aproximación racional a $\sqrt{2}$ tan bueno como $(2)$ debe ser también una aproximación a la fracción continua de $\sqrt{2}$ . Así que debemos encontrar una sobreestimación para $\sqrt{2}$ con un denominador par (las aproximaciones de fracciones continuas alternan entre sobre y subestimaciones). La fracción continua para $\sqrt{2}$ es $\{1;2,2,2,\dots\}$ por lo que las secuencias de numeradores y denominadores de los aproximantes satisfacen $$ \begin{array}{}a_k=2a_{k-1}+a_{k-2}&\text{ and }&b_k=2b_{k-1}+b_{k-2}\end{array}\tag{3} $$ donde $a_0=a_1=b_1=1$ y $b_0=0$ . Calculando las primeras aproximaciones, obtenemos $$ \frac{1}{1},\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\dots\tag{4} $$ Se deduce de $(3)$ que todos los demás denominadores son pares, y que corresponden a las sobreestimaciones. Por lo tanto, cualquier otra aproximación da lugar a un número triangular cuadrado.

Cualquier otro término de una secuencia que satisfaga $(3)$ también satisface $$ \begin{array}{}a_{2k}=6a_{2k-2}-a_{2k-4}\text{ and }b_{2k}=6b_{2k-2}-b_{2k-4}\end{array}\tag{5} $$ donde $a_0=1$ , $a_2=3$ , $b_0=0$ y $b_2=2$ . Sea $2n_k+1=a_{2k}$ y $2m_k=b_{2k}$ . Aplicando $(5)$ rinde $$ \begin{array}{}n_k=6n_{k-1}-n_{k-2}+2\text{ and }m_k=6m_{k-1}-m_{k-2}\end{array}\tag{6} $$ donde $n_0=m_0=0$ y $n_1=m_1=1$ .

Utilizando los métodos de recurrencia estándar, podemos resolver $(6)$ para $m_k$ para conseguir $$ \begin{align} m_k^2 &=\left(\frac{(3+2\sqrt{2})^k-(3-2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}}\right)^2\\ &=\frac{(17+12\sqrt{2})^k+(17-12\sqrt{2})^k-2}{32}\tag{7} \end{align} $$ Así, la secuencia $TS_k=m_k^2$ .

Answer 2

Consulte esta página: Números triangulares cuadrados . En particular:

En 1778 Leonhard Euler determinó la fórmula explícita: $$ \left( \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k - (3 - 2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} \right)^2.$$

La página de la wikipedia de arriba es muy útil. Explica la conexión con la ecuación de Pells.

Answer 3

Voy a publicar sólo un esbozo de solución diferente, que me gusta bastante. (Con la esperanza de que OP puede hacer el resto del trabajo por sí mismo y / o alguien será capaz de proporcionar algunos enlaces a los materiales donde se utiliza un enfoque similar y los detalles no se omiten).

Me gusta este enfoque porque a) tiene muchas imágenes; b) se puede explicar a alguien que no sabe nada de la ecuación de Pell. (De hecho, se puede utilizar un enfoque similar para algunos casos especiales de la ecuación de Pell, puedes echar un vistazo aquí . Estos apuntes están escritos en eslovaco, pero supongo que las ecuaciones y las imágenes son suficientes para entenderlos).

Me he enterado de esto por la tesis del diploma de mi compañero de clase (No sé el título exacto - sólo tengo un archivo ps sin páginas de título.) De hecho, la notación que estoy usando aquí y algunas de las imágenes están tomadas de su tesis. Pido disculpas por la calidad de las imágenes, pero no sabía una buena manera de convertirlas del formato ps.

Empecemos por la primera imagen.

$\triangle_m = \square_n$ $\Rightarrow$ $\triangle_{2n-m-1}=2\triangle_{m-n}$
(Supongo que esto se explica por sí mismo: básicamente acabamos de regalar la intersección. Sólo hay que tener cuidado con una cosa: no debemos olvidar restar uno. No estamos trabajando con áreas de triángulos y cuadrados, sino con el número de piedras que se colocan en ellos).

Ahora tenemos que resolver un nuevo problema: cuándo un número triangular es dos veces mayor que otro. Podemos volver a probar suerte con una imagen.

Vemos que $2\triangle_p=\triangle_q$ $\Rightarrow$ $\square_{q-p}=\triangle_{2p-q}$ .

Combinando lo anterior, con alguna manipulación algebraica, obtenemos que de cada solución $(m,n)$ obtenemos una nueva solución de la forma $(3m-4n+1,3n-2m-1)$ .

Algunos detalles para completar (omito las pruebas):

• Si empezamos con una solución en enteros positivos diferente de (1,1), entonces la nueva solución sigue siendo positiva y más pequeña.
• El único caso en el que la nueva solución no está en enteros positivos es $m=n=1$ .

Si probamos los hechos anteriores, entonces podemos argumentar que a partir de cada solución podemos descender en un número finito de pasos hasta la solución (1,1) y, a la inversa, cada solución puede generarse a partir de (1,1) utilizando la recurrencia: $$ \begin{gather*} P_{n+1}=3P_n+4Q_n+1\\ Q_{n+1}=2P_n+3Q_n+1 \end{gather*} $$

Hay muchas maneras de resolver esto, yo voy a esbozar una de ellas. Primero, sustituyamos $P_n=p_n+\frac12$ , $Q_n=q_n$ lo que nos lleva a $$ \begin{gather*} p_{n+1}=3p_n+4q_n\\ q_{n+1}=2p_n+3q_n \end{gather*} $$ Ahora podemos notar que $p_{n+1}\pm\sqrt{2}q_{n+1}=(3\pm2\sqrt2)p_n + (4\pm3\sqrt2)q_n=(3\pm2\sqrt2)(p_n\pm\sqrt2q_n)$ . Por lo tanto, ambos $p_n\pm\sqrt2q_n$ son progresiones geométricas y con algo de trabajo podemos expresar ambas $p_n$ y $q_n$ como una combinación lineal de $(3\pm2\sqrt2)^n$ .

(Nota al margen: Cualquiera que sepa de vectores propios, valores propios y diagonalización puede ver de dónde salen las cifras anteriores, así que no hace falta adivinar. Los números $3\pm2\sqrt2$ son precisamente los valores propios de la matriz $\begin{pmatrix}3&4\\2&4\end{pmatrix}$ .)

P.D. Si has visto este "enfoque gráfico" en algún sitio, me encantará conocer esas referencias. Sólo conozco estos artículos, en los que se utiliza un enfoque similar para demostrar que $x^2=2y^2$ y $x^2=3y^2$ no tienen soluciones.

• S. J. Miller, D. Montague: Pruebas de irracionalidad racional ( La máquina del retroceso )
• S. J. Miller, D. Montague: Irracionalidad del libro

Answer 4

$${t_n} = \sum\limits_{k = 1}^n k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = n-th{\text{ triangular number}}$$ $${s_m} = {\text{m-th square number}} = {m^2}$$ $${s_m} = {t_n} \Rightarrow \frac{1}{2}n\left( {n + 1} \right) = {m^2}$$ $$\frac{1}{2}{\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\left( {{n^2} + n + \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{2}\left( {{n^2} + n} \right) + \frac{1}{8}$$ $$\frac{1}{2}n\left( {n + 1} \right) = \frac{1}{2}\left( {{n^2} + n} \right) = \frac{1}{2}{\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{8} = {m^2}$$ $$\frac{1}{2}{\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^2} - {m^2} = \frac{1}{8}$$ $$4{\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^2} - 8{m^2} = 1$$ $$2 \cdot \left( {n + \frac{1}{2}} \right) \cdot 2\left( {n + \frac{1}{2}} \right) - 8{m^2} = 1$$ $${\left( {2n + 1} \right)^2} - 8{m^2} = 1$$ $${\left( {2n + 1} \right)^2} - 2 \cdot {\left( {2m} \right)^2} = 1$$ $$\boxed{w \equiv 2n + 1}$$ $$\boxed{z \equiv 2m}$$ $$\boxed{{w^2} - 2{z^2} = 1}$$

Encontrar números que satisfagan la última ecuación anterior no es tan sencillo... así que encontré los primeros números que son a la vez triangulares y cuadrados usando python

import pandas as pd
import numpy as np
triangluar_and_square = []
for n in np.arange(1,10000):
    w = 2*n + 1
    for m in np.arange(1,10000):
        z = 2*m
        if w*w - 2*z*z - 1 == 0:
            triangluar_and_square.append([m*m,m,n])
triangular_and_square = pd.DataFrame(triangluar_and_square,
                                     columns = ["Square (m-squared) + Trianglular","m","n"], 
                                     index = [1,2,3,4,5,6])

print(triangular_and_square)`

Salida de código

$$\begin{array}{*{20}{c}} & {{\rm{Square (}}{m^2}){\rm{ and Triangular}}}&& m&& n& \\ \hline & 1&& 1&& 1& \\ & {36}&& 6&& 8& \\ & {1225}&& {35}&& {49}& \\ & {41616}&& {204}&& {288}& \\ & {1413721}&& {1189}&& {1681}& \\ & {48024900}&& {6930}&& {9800}& \end{array}$$

Answer 5

Por supuesto, la solución de la ecuación:

$Y^2=\frac{X(X\pm1)}{2}$

Soluciones definidas de la ecuación de Pell: $p^2-2s^2=\pm1$

Pero es necesario escribir la fórmula que describe sus soluciones mediante la resolución de la ecuación de Pell:

$X=p^2+4ps+4s^2$

$Y=p^2+3ps+2s^2$

Y más.

$X=2s^2$

$Y=ps$

$p,s$ - Estos números pueden ser de cualquier carácter.

Si necesitas tener una solución de la ecuación: $Y^2=\frac{X(X\pm{a})}{2}$

Es necesario sustituir en las fórmulas uravneniyaPellya soluciones: $p^2-2s^2=\pm{a}$