Una revisión "rápida" manera de encontrar la suma de la secuencia de $5,5.5,5.55,5.555,5.5555,\ldots $ (20 términos)

Question

Mi planteamiento inicial es el buceo en la suma total por $9$ y tomando el común de la $5$ lo que da $$\frac{5}{9}[(10-1)+(10-0.1)+(10-0.01)+\cdots + (10-10^{-19})]$$ after some algebra this could be reduced to $$\frac{5}{9} \times [200-\frac{10}{9} \times (1-10^{-20})]$$

después de esto no estoy seguro de cómo mostrar que es casi igual a $110.5$? También si cualquier cuerpo quiere sugerir cualquier otra complicado/de forma rápida, yo se lo agradecerá.

Answer 1

$5+5.5+5.55+5.555+\cdots $

$= 5 + (5+0.5) + (5+0.5+0.05) + \cdots$

$= 20 \times 5 + 19 \times 0.5 + 18 \times 0.05 + 17 \times 0.005 \cdots + 1 \times 0.00{\ldots}05$

$\approx 100+9.5+0.9+0.085 $

$= 110.485$.

Answer 2

Un lento camino. Se resuelve el caso general con $n$ términos. Yo denotar su suma como $$S_{20}=5+5.5+5.55+5.555+\ldots +5.\underset{19}{\underbrace{555\ldots 5}}$$

y el caso general para $n$

$$S_{n}=5+5.5+5.55+5.555+\ldots +5.\underset{n-1}{\underbrace{555\ldots 5}}.$$

Desde $\sum_{j=1}^{k-1}10^{j-1}=\frac{1}{90}10^{k}-\frac{1}{9}$, tenemos en general

$$\begin{eqnarray*} S_{n} &=&5n+5\sum_{k=1}^{n}\frac{\sum_{j=1}^{k-1}10^{j-1}}{10^{k-1}} =5n+5\sum_{k=1}^{n}\frac{\frac{1}{90}10^{k}-\frac{1}{9}}{10^{k-1}} =\frac{1000}{9}-\frac{50}{81}+\frac{50}{81}10^{-n}, \end{eqnarray*}$$

y en el presente caso

$$\begin{eqnarray*} S_{20} &=&\frac{1000}{9} -\frac{50}{81}+\frac{50}{81}10^{-20} \\ &=&\frac{220987654320987654321}{2000\,000\,000000\,000\,000}\approx 110.49. \end{eqnarray*}$$

Answer 3

Como una alternativa, usted podría tratar de $$ \begin{align} \sum_{k=0}^{19}(\frac{50}{9}-\frac{5}{9}10^{-k})&=\frac{50}{9}\times 20-\frac{5}{9}\frac{1-10^{-20}}{1-10^{-1}}\\ &=\frac{1000}{9}-\frac{50}{81}\left(1-10^{-20}\right)\\ &=\frac{8950}{81}+\frac{50}{81}\times 10^{-20}\\ &=110\frac{40}{81}+\frac{50}{81}\times 10^{-20} \end{align} $$