Esta es una de esas quizás raras ocasiones cuando alguien toma el asesoramiento de la sección de preguntas frecuentes y una pregunta para los que ya conocen la respuesta. Este puzzle me tomó un tiempo, pero me pareció simple y satisfactorio. También es ideal, ya que la prueba no uso nada de lujo, pero aún así es un muy bonito resultado.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Jonesinator
Puntos
1793
La característica de Euler es multiplicativa, por lo que (desde $\chi(P^2)=3$ es un número primo) si $P^2\X$ es una tapadera, $\chi(X)=1$ y $\pi_1(X)=\mathbb Z/3\mathbb Z$ (en particular, X es orientable). Pero en este caso $H_1(X)$ es de torsión, por lo que (usando la dualidad de Poincaré) $\chi(X)=1+\dim H_2(X)+1>1$.
He aquí otro argumento que tiene la desventaja de ser menos elemental, pero la ventaja de trabajar en todo $\mathbb{C}P^{2k}$ simultáneamente. (Esto también responde a Pete pregunta en los comentarios).
Vamos a aplicar la Lefshetz punto fijo teorema que establece lo siguiente: Supongamos que $f:M\rightarrow M$ con $M$ "lo suficientemente bueno" (sin duda, esto se aplica a los colectores compactos - creo que se aplica a todos compacto CW complejos). Entonces $f$ induce un (lineal) mapa de $f_*:H_*(M)/Torsión\rightarrow H_*(M)/Torsión$. Vamos a $Tr(f)\in\mathbb{Z}$ denota la traza de este mapa. Si $Tr(f)\neq 0$, entonces $f$ tiene un punto fijo.
Ahora, vamos a mostrar que cada diffeomorphism $f:\mathbb{C}P^{2k}\rightarrow \mathbb{C}P^{2k}$ tiene traza de $\neq 0$, de modo que cada diffeomorphism tiene un punto fijo. Creer en esto por un segundo, tenga en cuenta que todos los elementos de $\pi_1(X)$ para un espacio hipotético de $X$ cubiertos por $\mathbb{C}P^{2k}$ actúa por diffeomorphisms, y por lo tanto tiene un punto fijo. Pero es fácil demostrar que el único elemento de la cubierta de grupo que corrige cualquier punto debe ser la identidad. De ello se sigue que $\pi_1(X)$ es trivial, por lo que $X=\mathbb{C}P^{2k}$.
Así que, ¿por qué cada diffeomorphism de $\mathbb{C}P^{2k}$ tiene un punto fijo? Así, cada diffeomorphism (o incluso homotopy equivalencia!) debe actuar como la multiplicación por $\pm 1$ en cada uno de los $2k+1$ de $\mathbb{Z}$s en el cohomology anillo de $\mathbb{C}P^{2k}$ y el seguimiento de la inducida por el mapa es la suma de todos los $\pm 1$s. Pero dado que hay un número impar de $\pm 1$s, que no suma de a 0 (por ejemplo, la comprobación de la paridad), así que por el Lefshetz teorema de punto fijo, cada diffeomorphism (o incluso homotopy equivalencia) debe tener un punto fijo.
¿Qué cerca de $\mathbb{C}P^{2k+1}$? Ahora debemos investigar el uso de la estructura de anillo de $\mathbb{C}P^{2k+1}$. Ya que hay una sola multiplicativo generador, una vez que sabemos lo que sucede en $H^2(\mathbb{C}P^{2k+1})$ sabemos lo que ocurre en todas partes. Además, es fácil ver que cada orientación de la preservación de homotopy equivalencia debe tener un punto fijo: si $f$ es la orientación de la preservación, es la identidad en $H^{4k+2}(\mathbb{C}P^{2k+1})$, lo cual implica que debe haber sido la identidad en $H^2(\mathbb{C}P^2)$ por lo que es la identidad en todos los cohomology grupos. Por lo tanto, la traza de un $f$ es de $2k+1\neq 0$, y así, por el Lefshetz teorema, este mapa tiene un punto fijo.
Como un corolario inmediato, si $\mathbb{C}P^{2k+1}$ cubre nada, sólo cubierta doble. Para el producto de los dos elementos no triviales en la cubierta de grupo debe ser trivial: cualquier trivial mapa debe ser la orientación de la marcha atrás y la composición de dos de orientación revertir los mapas de orientación de preservar, y por lo tanto tiene un punto fijo, por lo tanto es la identidad. Es decir, cualquiera de los dos elementos no triviales producto a $e$. Es fácil demostrar que esta implica la Cubierta de grupo es de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (o trivial).
De hecho $\mathbb{C}P^{2k+1}$ no doble la cubierta de algo (aunque, a mi entender, no tiene un nombre más común, excepto en el caso de $\mathbb{C}P^1 = S^2$ doble cubriendo $\mathbb{R}P^2$). En coordenadas homogéneas, la involución de los mapas de $[z_0:z_1:...:z_{2k+1}:z_{2k+2}]$ $[- z_1:z_0:...:-z_{2k+2}:z_{2k+1}]$. Esta involución actúa libremente, y el cociente de $\mathbb{C}P^{2k+1}$ por la involución es un espacio que $\mathbb{C}P^{2k+1}$ doble cubre.
No sé si $\mathbb{C}P^{2k+1}$ cubre cualquier otra cosa.
Por cierto, acaba de adelantarse un poco, el espacio de $\mathbb{H}P^{n}$ no cubre nada menos que $n=1$. La prueba es mucho más complicado en general (aunque el caso donde $n$ es aún sigue precisamente como lo hizo en $\mathbb{C}P^{2k}$ caso).
En general, uno tiene que calcular Pontrjagin clases y se nota que le son conservados por diffeomorphisms.
Tenemos $p_1(\mathbb{H}P^n) = 2(n-1)x$ donde $x$ es una elección particular de generador para $H^4(\mathbb{H}P^n)$. Desde cualquier diffeomorphism debe preservar $p_1$, se sigue que, tanto tiempo como $n\neq 1$, debemos tener $x\rightarrow x$ en $H^4$. A continuación, el Lefshetz teorema, una vez más garantías de un punto fijo.
