Si trato de medir el campo en un punto en el espacio-tiempo, que debería obtener un valor real que debe ser un autovalor del campo cuántico, ¿verdad? Supongo que los vectores propios del campo cuántico también viven en el espacio de Fock?
Sí, eso es básicamente correcto. Si el valor del campo en un punto es observable, los autovalores del operador que lo representan son los valores que el campo puede alcanzar en ese punto. Y los vectores propios de vivir en el espacio de Hilbert de los estados, que se puede considerar (al menos conceptualmente) como $L^2(\{\mbox{initial boundary conditions}\})$. Este espacio de Hilbert es un espacio de Fock en campo libre teorías.
Hay un par de matices que vale la pena mencionar:
El valor del campo en un punto no puede ser una física observable. En la electrodinámica, por ejemplo, en realidad no se puede medir el valor de $A_\mu(x)$ de un componente de la conexión 1 forma; en su lugar, usted puede medir invariante gauge cantidades como la curvatura $F_A(x)$ y el holonomy $Hol_L(A)$ a lo largo de un bucle de $L$. Asimismo, en lo no lineal sigma modelos, donde la clásica de campos son los mapas de $\phi: \Sigma \to X$ a algunas curvas de colector, usted no puede medir el valor de $\phi(x)$. Autovalores son números complejos, no los puntos en un colector. Pero de que usted obtenga un real observable $\mathcal{O}_f(x)$ por cada función $f: X \to \mathbb{R}$; medir el valor de $f(\phi(x))$.
Además no es estrictamente correcto decir que cuántica de campos operador de funciones con valores en el espacio-tiempo. El problema es que si se mide el valor del campo en un punto, te perturban el campo cerca de ese punto, que afectan los valores en otros puntos cercanos. Cuanto más cerca se mira hacia el lugar donde se hizo la medición, el más grande de la perturbación; incluso en la libertad de escalar la teoría de campo, el 2-punto de la función de correlación $\langle \phi(x) \phi(y) \rangle$ golpes como $x \to y$. Esto indica que los campos no son muy de funciones, porque no se puede multiplicar el valor en un punto' observables cuando viven en el punto exacto.
El matemáticamente lo que hay que hacer es pensar en el campo (y en general locales observables construido a partir de los campos) como operador de valores de la distribución. Las distribuciones son leves generalización de funciones; son objetos que no tienen valores en un punto, pero que tienen un promedio de los valores en una arbitrariamente pequeño (pero finito) de la región. Básicamente, para cualquier función de prueba de $f$ en su espacio-tiempo, se obtiene un operador $\phi(f)$ que se puede considerar como una forma de medir el valor "$\int f(x) \phi(x) dx$ " $\phi$ muestreada por una sonda con la resolución de $f$. Distribuciones sólo puede ser multiplicado cuando sus singularidades no coinciden; presentan el mismo odioso comportamiento que cuántica de campos a los operadores a hacer.
Probablemente usted no tiene que preocuparse demasiado por esto. Para una cosa, incluso si usted no puede (estrictamente hablando) definir un operador $\phi(x)$, sigue siendo seguro hablar de la función de correlación $\langle \phi(x)\phi(y)\rangle$. (Es el kernel de la función de la aplicación multilineales $(f,g)\mapsto \langle \phi(f)\phi(g) \rangle$.)
Los físicos no pasan mucho tiempo preocupándose acerca de cómo resolver el autovalor problema para los operadores de campo. Generalmente el espectro es todo de $\mathbb{R}$, y encontrar los vectores propios que no vale la pena la molestia. Hay una excepción importante: En el Modelo Estándar, es muy importante que el vacío de vectores es un vector propio de la partícula de Higgs, los operadores de campo, con los no-cero autovalor.
