¿Por qué decimos que el espacio de Hilbert es mejor que el espacio de Banach?
Yo sé que un espacio de Hilbert ha interno del producto (y por lo tanto una norma), pero el espacio de Banach acaba de norma.
Respuestas
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Hilbert espacios son más estrictas subconjunto de los espacios de Banach, pero ellos tienen la estructura interior de un producto que le permite hablar de bases ortonormales, unitaria operadores y así sucesivamente. Ejemplo: la transformada de Fourier de la teoría es muy bonita en $L^2(\mathbb{R})$, pero es mucho más complicado en otros espacios de Banach, porque usted no tiene una noción de auto-dualidad como en $L^2(\mathbb{R})$. Usted realmente tiene que resumen una gran cantidad de definir la transformada de Fourier en otras $L^p$ espacios.
Jedi Master Spooky
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Hilbert espacios más fácil la estructura y están en una forma (más a menudo de infinitas dimensiones) Euclidiana espacios. Sin embargo, muchos espacios de interés que son espacios de Banach que no son espacios de Hilbert, por lo que también son importantes.
A ver si un espacio de Banach es un espacio de Hilbert es suficiente para mostrar que la norma satisface la ley del paralelogramo. En otras palabras, si tenemos un espacio de Banach $X$ tal que $$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2$$ para todos los $x,y\in X$ $X$ es en realidad un espacio de Hilbert.
Para deducir cómo la norma se ve como es un buen ejercicio. En el caso real (el caso complejo es similar) pensar en la expansión de $$\|x+y\|^2=\langle x+y,x+y\rangle$$ y $$\|x-y\|^2=\langle x-y,x-y\rangle$$ El resultado es $$\langle x,y\rangle=\frac{\|x+y\|^2-\|x-y\|^2}{4}$$
sholsinger
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Yo no pienso que ellos son "mejores", por sí mismo. Un espacio de Hilbert es un tipo muy especial de espacio de Banach - uno en el cual se quiere generalizar los familiares de las nociones de $\mathbb{R}^n$. (Por ejemplo, se puede muy natural hablar de cuando dos vectores en el espacio de Hilbert son ortogonales).
En general, los espacios de Hilbert son "más fácil" de entender que en general los espacios de Banach, y suelen ser un buen lugar para empezar si usted está aprendiendo el sujeto (Por ejemplo, tratar de ver por qué el de Hahn-Banach teorema es mucho más simple para espacios de Hilbert)
