El análisis de la potencia de un binomio de datos cuando la hipótesis nula es que el $p = 0$

Question

Me gustaría hacer un análisis del poder para una sola muestra de binomio de datos, con $H_0: p = 0$, frente a $H_1: p = 0.001$ donde $p$ es la proporción de éxitos en la población. Si $0 < p <1$, podría utilizar la aproximación normal a la binomial, o $\chi^2$-prueba, pero con $p =0$, estos fallan. Me gustaría saber si hay una manera de hacer este análisis. Me gustaría mucho apreciamos cualquier sugerencia, comentarios o referencias. Muchas gracias!

Answer 1

Usted tiene un solo lado, exacta hipótesis alternativa $p_{1} > p_{0}$ donde$p_{1} = 0.001$$p_{0} = 0$.

• El primer paso es identificar un umbral de $c$ para el número de éxitos que la probabilidad de obtener al menos $c$ de éxitos en una muestra de tamaño $n$ es muy bajo bajo la hipótesis nula (convencionalmente $\alpha = 0.05$). En su caso, $c=1$, independientemente de su elección particular para$n \geqslant 1$$\alpha > 0$.
• El segundo paso es encontrar la probabilidad de obtener al menos $c$ de éxitos en una muestra de tamaño $n$ bajo la hipótesis alternativa - este es su poder. Aquí, usted necesita un fijo $n$ de manera tal que la distribución Binomial $\mathcal{B}(n, p_{1})$ está completamente especificado.

El segundo paso en R con $n = 500$:

> n  <- 500                 # sample size
> p1 <- 0.001               # success probability under alternative hypothesis
> cc <- 1                   # threshold
> sum(dbinom(cc:n, n, p1))  # power: probability for cc or more successes given p1
[1] 0.3936211

Para tener una idea de cómo los cambios de potencia con un tamaño de muestra, se puede dibujar una función de potencia:

nn   <- 10:2000                 # sample sizes
pow  <- 1-pbinom(cc-1, nn, p1)  # corresponding power
tStr <- expression(paste("Power for ", X>0, " given ", p[1]==0.001))
plot(nn, pow, type="l", xaxs="i", xlab="sample size", ylab="power",
     lwd=2, col="blue", main=tStr, cex.lab=1.4, cex.main=1.4)

Si usted quiere saber lo que el tamaño de la muestra necesario para lograr al menos un pre-especificado de alimentación, puede utilizar el poder de los valores calculados anteriormente. Dices que quieres una potencia de al menos $0.5$.

> powMin <- 0.5
> idx    <- which.min(abs(pow-powMin))  # index for value closest to 0.5
> nn[idx]     # sample size for that index
[1] 693

> pow[idx]    # power for that sample size
[1] 0.5000998

Por lo que necesita un tamaño de muestra de al menos $693$ a alcanzar una potencia de $0.5$.

Answer 2

Usted puede responder a esta pregunta fácilmente con la pwr paquete en R.

Es necesario definir un nivel de significación, potencia y tamaño del efecto. Normalmente, el nivel de significación se establece en 0.05 y el poder se establece a 0.8. Mayor potencia se requieren más observaciones. Menor nivel de significación disminuirá el poder.

El tamaño del efecto de las proporciones utilizadas en este paquete es de Cohen h. El valor de corte para una pequeña h se toma a menudo para ser 0.20. El real punto de corte varía según la aplicación, y puede ser menor, en su caso. Menor h significa más observaciones de ser necesario. Usted dijo que su alternativa es $p = 0.001$. Que es muy pequeño

> ES.h(.001, 0)
[1] 0.0632561

Pero todavía podemos proceder.

 > pwr.p.test(sig.level=0.05, power=.8, h = ES.h(.001, 0), alt="greater", n = NULL)

 proportion power calculation for binomial distribution (arcsine transformation) 

          h = 0.0632561
          n = 1545.124
  sig.level = 0.05
      power = 0.8
alternative = greater

El uso de estos valores, se necesitan al menos 1546 observaciones.