¿Cuál es el número máximo de puntos de intersección de 8 círculos?

Question

Encontré esta pregunta en un libro sobre combinaciones y permutaciones. Aunque tenía una respuesta de un paso vagamente definida..: 8P2 = 56 . Por lo que he podido entender, el paso anterior da el número de disposiciones posibles para 8 objetos tomados de dos en dos. Pero no entiendo cómo da los puntos de intersección. Además, ¿hay algún otro método para resolver este tipo de problemas? Saludos

Answer 1

Dos círculos pueden intersecarse como máximo en dos puntos. Por lo tanto, si se tiene $8$ círculos para cada par puede haber como máximo $2$ intersecciones que nos dan la respuesta $2\cdot{8\choose 2} = 56$ .

Sin embargo, esto no demuestra por sí mismo que también se pueda alcanzar esta cifra. Al fin y al cabo, es posible que haya puntos en los que $ 3$ círculos se reúnen disminuyendo el número total de intersecciones.

Afortunadamente, es fácil construir $8$ círculos que no tienen intersecciones triples. Por ejemplo, puede colocar $8$ círculos todos con radio $8$ en las coordenadas $(0,0), (1,0),\ldots,(7,0)$ . Todos estos círculos se cruzan claramente dos veces entre sí. Pero si hubiera algún punto $x$ donde se cruzan tres círculos, entonces el círculo de radio $8$ alrededor de $x$ se cruzaría con el $x$ -eje en $3$ puntos, lo cual es claramente absurdo.

Answer 2

Dos círculos pueden intersecarse como máximo en dos puntos (excluyendo el caso en que dos círculos coincidan entre sí). Por lo tanto, considerando todos los pares de circunferencias posibles, el número máximo de puntos de intersección viene dado por $2\binom{8}{2}=56$ . (Una prueba sencilla de la necesidad del multiplicador de dos es que dos círculos pueden intersecarse en 2 puntos, mientras que $\binom{2}{2}=1$ ).

Consideremos ahora el caso en el que todos los círculos tienen el mismo tamaño y están lo suficientemente juntos como para que el centro de cada círculo se encuentre dentro de cada uno de los otros círculos. En el caso general en el que ninguno de los puntos de intersección por pares se encuentra en el perímetro de ninguno de los otros seis círculos, el número máximo de puntos de intersección es realizable.

Answer 3

Hay una respuesta sencilla que probablemente cualquiera podría entender.

Tomemos el ejemplo de ocho círculos de 10" colocados en una línea a lo largo del eje X. Dispongámoslos de manera que su centro esté a lo largo del eje X, y sus centros estén en (0,0), (1,0), (2,0), (3,0)...(7,0). Es decir, todos ellos se superponen y se cruzan en dos puntos con todos los demás círculos.

Así, si cada uno de los 8 círculos cruza los otros 7 círculos dos veces, serían 7x8x2. Pero, ¡espera! Cuando se hace esto, se acaba contando cada par de círculos dos veces, es decir, el círculo 1 cruza el círculo 5 y el círculo 5 cruza el círculo 1. Así que la respuesta es realmente 7x8 o 56.