Considere una cuadrícula de puntos $T=\{t_1, \ldots ,t_m\}$ con $0 \le t_i \le 1$ . Me gustaría derivar condiciones sobre $t_1, \ldots ,t_m$ (puntos de interpolación) bajo los cuales para cualquier secuencia de números complejos $c_1,c_2, \ldots ,c_m \in\mathbb {C}$ con $|c_k|=1$ existe una función $f(t):[0,1] \rightarrow \mathbb {C}$ de la forma \begin {ecuación*} f(t)= \sum_ {k=-n}^n a_k e^{2 \pi i k t} \end {ecuación*}
(con n lo más pequeño posible) de tal manera que
1) $f(t)$ interpola $c_1,c_2, \ldots ,c_m \in\mathbb {C}$ en $T$ . Eso es \begin {ecuación*} f(t_k)=c_k \end {ecuación*}
2) $|f(t)|< 1$ para $t \notin T$ .
Sé que la condición de los nodos de interpolación $t_1, \ldots ,t_m$ debería ser algo parecido a los que aparecen a continuación
1) $min_{k, \ell }|t_k-t_ \ell | \ge 1/n$
(con la distancia destinada a ser circular que es |0.9-0.1|=0.2).
o
2) condiciones más sofisticadas como:
$D_{m}(t_1, \ldots ,t_m)$ tiene que ser pequeño. La discrepancia de una secuencia finita de números reales $x_1,x_2, \ldots ,x_N \in [0,1]$ se define como \begin {ecuación*} D_N(x_1,x_2, \ldots ,x_N)= \underset {0 \le\alpha < \beta\le 1}{sube} \bigg | \frac {A([ \alpha , \beta );N)}{N}-( \beta - \alpha ) \bigg |, \end {ecuación*} con $A([ \alpha , \beta );N)$ que denota el número de $x_i$ de tal manera que $x_i \in [ \alpha , \beta )$ (Basado en la sección 2 de la Distribución uniforme de las secuencias de Kuipers y Niederreiter).
