En la función de Bessel $J_n(z)$ alta $z$, con respecto a $n$

Question

El trazado de la funciones de Bessel de primera especie $J_n(z)$ frente al $n$ fijos $z\gg1$, parece que hay un corte abrupto justo antes de $n=z$.

Tres preguntas:

1. ¿Qué es una referencia que describe este corte abrupto?
2. ¿Qué es una expresión para la ubicación de un máximo de $J_n(z)$ con respecto al $n$, para fijo (grande) $z$?
3. ¿Qué es una bonita expresión para la envolvente de la función $J_n(z)$ con respecto al $z$? I. e, ¿qué es una función que (aproximadamente) pasa a través de todos los máximos de la siguiente parcela, y luego se apaga apropiadamente para $n>z$?

Answer 1

1.

La denominada "zona de transición" para $J_n(z)$ es bien conocido; entre sus muchas aplicaciones, los tres habituales plazo de recursividad relación para las funciones de Bessel es numéricamente sonido en la dirección de aumentar $n$ mientras $z>n$. Como guía de la clase,

$$J_n(z)\approx\frac{x^n}{2^n\Gamma(n+1)}\quad\mathrm{if}\quad 0 < z \ll n$$

$$J_n(z)\approx\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{\pi}{4}-\frac{n\pi}{2}\right)\quad\mathrm{if}\quad n \ll z$$

2.

Las expresiones para $\frac{\mathrm d}{\mathrm d\nu}J_\nu(z)$ son bastante complicados; no hay ninguna razón para esperar una expresión simple para la solución de $\frac{\mathrm d}{\mathrm d\nu}J_\nu(z)=0$, como es de costumbre para cualquier trascendental ecuación.

3.

Hay un montón de asintótica resultados para las funciones de Bessel con variables de orden en el DLMF; es posible que desee buscar en ellos. De improviso, recuerdo resultados para sobres de $J_n(z)$ fijos $n$ y la variación de $z$, pero no para su situación; voy a editar esta respuesta cuando vengo a través de los resultados de relevancia para usted.