Teorema de Banach-Tarski sin axioma de elección

Question

¿Es posible demostrar el famoso teorema de Banach-Tarski sin utilizar el axioma de elección?

Nunca he visto una prueba que refute esta afirmación.

Answer 1

El teorema de Banach-Tarski utiliza en gran medida conjuntos no mensurables. Es coherente que, sin el axioma de elección, todos los conjuntos sean mensurables y, por tanto, el teorema falle en dicho universo. La paradoja, por tanto, se basa en este axioma.

Cabe señalar, sin embargo, que el teorema de Hahn-Banach es suficiente para demostrarlo, y no hay necesidad de toda la potencia del axioma de elección.

Más información aquí:

1. Herrlich, H. Axioma de elección . Notas de clase de matemáticas Springer, 2006.

2. Schechter, E. Manual de análisis y sus fundamentos . Academic Press, 1997.

Answer 2

Directamente de la página de Wikipedia sobre la paradoja/teorema

A diferencia de la mayoría de los teoremas en geometría, este resultado depende de manera crítica del axioma de elección de la teoría de conjuntos . Este axioma permite construir conjuntos no mensurables, colecciones de puntos que no tienen volumen en el sentido ordinario y para cuya construcción sería necesario realizar un número incontablemente infinito de elecciones.

Answer 3

Aunque soy consciente de que no me lo has pedido, no me resisto a sugerirte que le eches un vistazo al libro de Stan Wagon 'The Banach-Tarski Paradox', Cambridge University Press 1985.