Hubo un problema interesante preguntó acerca de triples $(x,y,z)$, que son soluciones de
$$x! = y! + z!.$$
Aquí $(2,1,1)$ es una solución porque $2! = 1! + 1!$, como es de $(2,1,0)$ y $(2,0,1)$.
Ahora quería analizar esto un poco más, y la idea de usar la función gamma definición de factorial, para ver por dónde led y esto es lo que obtuve:
$x! = y! + z!$
$ \Gamma(x) = \Gamma(y) + \Gamma(z) $
$\int_{-\infty}^{\infty}t^xe^{-t}dt = \int_{-\infty}^{\infty}t^ye^{-t}dt + \int_{-\infty}^{\infty}t^ze^{-t}dt $
$\int_{-\infty}^{\infty}t^xe^{-t}dt - \int_{-\infty}^{\infty}t^ye^{-t}dt - \int_{-\infty}^{\infty}t^ze^{-t}dt = 0$
$\int_{-\infty}^{\infty}(t^x - t^y - t^z)e^{-t}dt = 0$
Ahora mi línea de pensamiento fue que, de una manera similar a la del lema fundamental del cálculo de variaciones, esto debería implicar que la integral anterior sólo puede ser verdad para valores arbitrarios de $x,$ y y $z$ si $t^x - t^y - t^z = 0$.
No estoy realmente seguro de si eso es justificable así que te agradecería algún comentario sobre esto.
La razón por la que continuó a pesar de la incertidumbre es que cuando estás a la izquierda con el polinomio $t^x - t^y - t^z = 0$ se encuentre con un hecho extraño. En primer lugar, conectar un triple $(2,1,1)$ resultados $t^2 - c^1 - t^1 = 0$ lo cual implica $t^2 = 2t$ mus $t = 2$. Ahora enchufar $t = 2$ da $2^2 = 1^2 + 1^2$. En otras palabras, usted consigue lo que usted esperaría. Sin embargo enchufar un triple usted sabe que es incoherente, como $(0,0,0)$, da
$t^0 = t^0 + t^0$
$1 = 1 + 1$
$1 = 2$.
Usted obtener absurdos cuando se conecta la inconsistencia en los triples.
Así, mientras que $(2,1,0)$, que trabaja, da
$t^2 - c^1 - t^0 = 0$
$t^2 - t - 1 = 0$
cuyas raíces son
$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$
$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$
y en tapar estos en $t^x - t^y - t^z = 0$ da una constante de la igualdad para los dos raíces, una incoherente triple $(3,2,1)$ nos deja con $t^3 - t^2 - t = 0$, una de cuyas raíces son $t = 0$ (lo que le da una constante de la igualdad $0^3 - 0^2 - 0 = 0$ mientras que otro de sus raíces, $t = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$ no da una constante de la igualdad
$(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})^3 - (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}) = 0$.
Si todo lo anterior es por arte de magia bien puedes utilizar esta idea para demostrar que no hay triples $(n, n - 1, n - 2)$ trabajo $$ n mayor que $2$. Me gustaría ir más allá con él, pero me temo que todo es sólo conceptualmente erróneo, es?
Una pregunta más interesante proviene de algo que un gran profesor me dijo, básicamente, analizados la totalidad de la pregunta geométricamente y dijo algo acerca de ciertos triples que tienen que ver con el área de los gamma integrales cancelando. Yo pensaba que entendía lo que estaba diciendo, pero en realidad yo no así que agradecería cualquier comentario sobre lo que esto podría significar.
Espero haber sido lo suficientemente claro, gracias por tu tiempo.
