Un campo en el que cada elemento (que no es 1 o 0) es una raíz de -1

Question

Deje $\mathbb{F}$ ser un campo con $char(\mathbb{F}) \neq 2$ tal que para cada elemento $q \in \mathbb{F}$ si $q \neq 0$$q \neq 1$, entonces no es una potencia n tal que $q^n = -1$. (E. g. $\mathbb{F}_3$, $\mathbb{F}_5$, $\mathbb{F}_{9}$, $\mathbb{F}_{17}$, ...).

Obviamente $char(\mathbb{F}) > 0$ (desde $\mathbb{F}$ no tienen un $\mathbb{Q}$ subcampo). Además, supongo que en campos finitos esto sucede si y sólo si $|\mathbb{F}| = 2^k+1$ para algunos k (ya que en este caso $\mathbb{F}^*$ es un grupo cíclico de orden $2^k$ y -1 se encuentra en todos los no-trivial subgrupo)

De curso $\mathbb{F}$ no es algebraicamente cerrado (ya que cada elemento tiene incluso multiplicativo de orden y por lo tanto $x^{(2n+1)} - 1$ solo tiene 1 raíz de $\forall n$).

Pero puede $\mathbb{F}$ ser infinito? También hay un número infinito de (finito) de los campos con esta propiedad?

Answer 1

El número de tales campos es probable finito (hasta isomorphy) pero es que no sabe incondicionalmente.

La lista completa puede ser descrito como: los campos con la cardinalidad de un Fermat prime, es decir, un primo de la forma $2^k+1$ o $9$. (El primero, es probable finito sin embargo, nadie sabe.)

Como se observa correctamente la condición para un campo finito es que el orden de $|F^{\times}|$ es una potencia de dos.

Para ver esto basta con señalar que $-1$ siempre tiene orden de $2$ en este grupo, así que si hay un elemento de orden impar en este grupo, no hay poder que puede tener el fin de $2$. Por lo tanto el fin de que el grupo no puede ser divisible por cualquier extraño prime. Por el contrario, como usted dijo que si la orden es una potencia de dos, a continuación,$-1$, el elemento único de la orden de $2$, se encuentra en todas las no-trivial, subgrupo y por lo tanto un poder del es $-1$.

Ahora, se desconoce si existen infinitos números primos de la forma $2^k +1$, pero la respuesta es probablemente no.

¿Qué acerca del primer poderes, la única solución es $3^2$; esto es una consecuencia de catalán de la conjetura (demostrado por Mihailescu), pero que caso especial era conocido antes.

Claramente no hay campo que contiene un elemento trascendental puede tener su propiedad, y cada una de las infinitas algebraicas campo contendrá como subcampo de un campo finito no en nuestra lista.