Nombres para anillos específicos

Question

1. ¿Hay un nombre para un anillo $A$ (conmutativo con $1 \neq 0$ ) todos cuyos ideales son radicales?
2. ¿Hay un nombre para un anillo $A$ (conmutativo con $1 \neq 0$ ) tal que para cada $x \in A$ , hay $n \geq 2$ tal que $x^n = x$ ?

Actualmente estoy llamando a $A$ en 1 a anillo radical y $A$ en 2 a anillo semiboleano .

Answer 1

(Estoy bastante seguro de que "radical" aquí significa que $\sqrt{I}=I$ )

Bajo las condiciones de #1, todos los ideales del anillo son semiprimos. Tomando cualquier elemento $a$ , $(aR)^2$ es un ideal semiprimo, por lo que debe contener $aR$ y hemos demostrado que $aR=(aR)^2$ . Como esto dice que $a=ara$ para algunos $r\in R$ También hemos demostrado que $R$ es von Neumann regular . Una observación que necesitaremos en breve es que $ar$ es idempotente, y $aR=araR\subseteq arR\subseteq aR$ donc $aR=eR$ para un idempotente $e=ar$ .

Por el contrario, si $R$ es von Neumann regular, podemos demostrar que todos sus ideales son semiprimos, ya que todos son idempotentes.

Como se ha observado anteriormente, para cualquier elemento $a\in R$ existe un idempotente $e$ tal que $eR=aR$ . Supongamos que $I\lhd R$ y $I^2\neq I$ . Claramente $aR\subseteq I$ y $(aR)^2\subseteq I^2$ . Escoge $a\in I\setminus I^2$ . Entonces $(aR)^2=(eR)^2=e^2R=eR=aR$ y eso implica que $a\in (aR)^2\subseteq I^2$ una contradicción. Por lo tanto, $I^2=I$ para todos los ideales, y $I$ es semiprima (=radical).

Resulta que para los anillos conmutativos, ser VNR es exactamente lo mismo que decir que todo ideal es una intersección de máximo ideales. En consecuencia, todo anillo cociente propio de $R$ tiene cero radical de Jacobson. Como Jacobson utilizó "anillo radical" para describir un anillo en el que el radical de Jacobson es el todo anillo, esto es un desafortunado conflicto con su elección de término. Las alternativas aparecen en la lista siguiente.

En el caso no conmutativo, las cosas se separan un poco, y puedo decir algo más sobre la terminología.

1. Si todos los ideales son semiprimos, el anillo se llama a veces totalmente semiprima y a veces totalmente idempotente ya que el hecho de que todos los ideales sean semiprimos equivale a que todos los ideales sean idempotentes. Los anillos VNR son plenamente idempotentes (la misma prueba que la anterior), pero está claro que no todos los anillos plenamente idempotentes son VNR: existen anillos simples no VNR que son trivialmente plenamente idempotentes.

2. Si todos los ideales son la intersección de ideales máximos derechos, el anillo se llama anillo en V derecho (donde V significa Villemajor). Hay anillos V que no son VNR y anillos VNR que no son V. Esto es menos relevante para su situación que el punto anterior, pero lo suficientemente interesante como para mencionarlo :)

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No recuerdo inmediatamente un nombre para la condición 2, pero estoy seguro de que hay uno. Por supuesto, la condición 2 implica la condición 1. Quizá te interese saber que no tienes que suponer la conmutatividad: un teorema por Jacobson demuestra que si para cada $x$ hay $n>1$ tal que $x=x^n$ entonces el anillo es conmutativo.