Cómo demostrar que existe $\lambda_{\sigma(1)}$ tal que $\mu(A\cap\{\lambda_{\sigma(1)}\neq0\})>0$ ?

Question

Sea $(\mathcal F,\Omega,\mu)$ sea un espacio de medidas y $A\subseteq\Omega$ tal que $\mu(A)>0$ . Sea $L^0$ sea el espacio de todas las funciones medibles.

Nosotros decimos $X_1,\ldots,X_k\in(L^0)^d=\prod_{k=1}^dL^0$ son linealmente independientes en $A$ si $(0,\ldots,0)$ es el único vector $(\lambda_1,\ldots,\lambda_k)\in1_A(L^0)^d$ satisfaciendo $$\lambda_1X_1+\ldots+\lambda_kX_k=0$$ Supongamos que $X_1,\ldots,X_k\in(L^0)^d$ son linealmente independientes en $A$ y $$\text{span}_A\{X_1,\ldots,X_k\}\subseteq\text{span}_A\{Y_1,\ldots,Y_l\}$$ para algunos $Y_1,\ldots,Y_l\in(L^0)^d$ .

Estoy tratando de probar que existe un $\sigma(1)\in\{1,\ldots,l\}$ tal que $$\mu(A\cap\{\lambda_{\sigma(1)}\neq0\})>0$$ Intenté concluir esto a partir del hecho de que podemos escribir $$1_AX_1=\sum_{i=1}^l\lambda_i1_AY_i$$ mientras no llegaba a ningún resultado, ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Supongamos que esto no es cierto. Entonces, tendríamos $\mu(A\cap\{\lambda_i\ne0\})=0$ para todos $i\in\{1,2,\dotsc,l\}$ . Por lo tanto, $$1_A X_1 = \sum_{i=1}^l \lambda_i1_AY_i$$ implica que $1_AX_1=0$ . Este, el vector $(1_A,0,\dotsc,0)$ satisface $$1_AX_1 + 0X_2 + \dotsb + 0X_k = 0$$ lo que contradice la independencia lineal de $(X_1,X_2,\dotsc,X_k)$ .