Hay un subfactor de la construcción en la que participaron 2-grupos?

Question

Me parece recordar que hay un sencillo subfactor de la construcción que se obtiene de la fusión de categorías dadas por G-clasificado, espacios vectoriales y las representaciones de G, para grupos finitos G. hay un análogo de la construcción de 2-grupos?

Algunos antecedentes: Un 2-grupo es un monoidal groupoid, para que el isomorfismo de las clases de objetos que forman un grupo. Sinh mostró que hasta monoidal equivalencia, estos son clasificados por un grupo G (isom. las clases de objetos), un G-módulo H (automorfismos de identidad), y un elemento de H³(G,H). En el contexto de esta discusión, podemos limitar nuestra atención a finito G, H=C^x. Una característica notable es que cuando la acción de G en H es trivial, los tres cocycle tuerce el asociador en el G-graduada de espacio vectorial categoría.

Yo soy todo curioso acerca de cómo saber cuando dos elementos de H³(G,H) rendimiento de Morita-equivalente de la fusión de las categorías, y me preguntaba si subfactores o planar álgebras de hacer que sea fácil para detectar esto.

Answer 1

Este es un estándar de construcción en el Subfactor de la teoría de ver la intro de http://arxiv.org/abs/0811.1084v2 para obtener más detalles. La construcción que se remonta un largo, largo camino (si mal no recuerdo tanto Vaughan Jones y Adrian Ocneanu de la tesis fueron relacionados a esta pregunta, pero puedo estar equivocado).

A partir de una categoría de la perspectiva de la teoría de recordar que un subfactor (N < M) es un tensor unitario en la categoría C (N-N bimodules), junto con una Frobenius álgebra objeto a en C (M como N-N bimodule con la esperanza condicional como de seguimiento). En este caso el tensor de la categoría C es el trenzado de la categoría de G-graduada de espacios vectoriales (donde se utiliza el 3-cocycle para cambiar el asociador), y el álgebra objeto es una versión retorcida del grupo de álgebra (o tal vez sólo el grupo de álgebra? Yo estoy confundido, no debería grupo de álgebras de ser torcido por 2-cocycles?).

Answer 2

Cualquier esférica fusión categoría conduce a una 3-variedad invariante por la Turaev-Viro construcción — esto fue explicado en un viejo arXiv papel por Barrett y Westbury arXiv:hep-th/9311155. El invariante es el mismo que el Reshetikhin-Turaev invariante de la doble categoría, por lo que si dos de estas categorías son Morita equivalente, que el rendimiento de la misma 3-variedad invariante. Si la categoría se hace de su grupo finito $G$ junto con su cohomology de clase en $H^3(G,\mathbb{C}^*)$, luego de la correspondiente invariante fue definido por Dijkgraaf y Witten; se interpretó como Chern-Simons teoría de campo de gauge grupo de un grupo finito. Si $\omega$ es el cohomology de la clase, entonces el invariante es la suma de todos los homotopy clases de mapas de $f:M \to B_G$$\langle f^*(\omega),[M]\rangle$. Aquí $B_G$ es la clasificación de espacio de $G$ $[M]$ es la clase fundamental de $M$. Si usted encuentra una 3-variedad distinguir dos de estos 2 grupos, entonces ellos no están Morita equivalente.

Por ejemplo, supongamos $G = C_3$ y deje $\omega \in H^3(G,\mathbb{C}^*)$ ser no trivial. Si dejas $M$ ser el objetivo del espacio de $L(3,1)$, entonces en realidad $B_G$ es un infinito-dimensional de la lente espacio que contiene a $M$. Si $f$ es la inclusión del mapa, a continuación, $f^*(\omega)$ no puede ser trivial en este caso. El Dijkgraaf-Witten invariantes de la $M$ es la suma de las tres raíces de la unidad, que se desvanece. Por otro lado, si $\omega$ es trivial, entonces el Dijkgraaf-Witten invariante es 3. Así que, no Morita la equivalencia entre estas dos opciones de $\omega$.

A pesar de la homotopy de la teoría de la lengua, estos cálculos son generalmente manejable al $G$ no es demasiado complicado.

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También, no sé mucho sobre el subfactor final de este, pero he de suponer que $(G,\omega)$ da un subfactor. No estoy seguro de cómo mucho de lo que por sí mismo dice acerca de equivalencia de Morita, aunque.