Si tengo un grupo de orden $p(p+1)$ $p+1$ Sylow $p$-subgrupos ¿cómo puedo demostrar que todo lo $p$ no trivial elementos no de orden $p$ primer orden?
Respuesta
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Desde $G$ $p+1$ Sylow $p$-subgrupos, tenemos $P = N_G(P)$$P \in {\rm Syl}_p(G)$. Así que si $h \not\in P$,$h \not\in N_G(P)$, por lo que no trivial elemento de $P$ puede centralizar $h$. Por lo tanto $h$ $p$ distintos conjugados bajo la acción de $P$. Por lo que el $p$ elementos que no tienen orden de $p$ todo debe ser conjugado, y por lo que todos tienen el mismo orden y, dado que al menos uno de ellos ha de primer orden, todos ellos de primer orden.
Tenga en cuenta también que si el primer pedido en cuestión es$q$, $p+1$ es una potencia de $q$, por lo que las posibilidades son $p=2$, e $p$ un Mersenne prime con $q=2$. Para cada una de las $p$ hay un único isomorfismo clase de grupos de este formulario.
