El número mínimo de vectores de s.t cualquier lineal mapa que conserva sus normas es una isometría

Question

Deje $V,W$ $n$- dimensiones (real) producto interior de los espacios, y deje $T:V \to W$ ser lineal en el mapa.

Deje $v_1,...,v_n$ ser una base de $V$. Es fácil ver que si $|T(v)|_W=|v|_V$ por cada $v \in \{v_1,...,v_n,v_1+v_2,v_1+v_3,...,v_{n-1}+v_n\}$, $T$ es una isometría (una prueba que se proporciona a continuación).

En otras palabras, después de elegir sabiamente $k(n):=\frac{n(n+1)}{2}$ vectores, es suficiente para comprobar $T$ preserva las normas de estos vectores, en orden a la conclusión de que es una isometría.

Pregunta: ¿no hay manera de elegir a menos de $k(n)$ vectores, de tal manera que cada lineal mapa que conserva sus normas es una isometría?

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Creo que no podemos elegir menos de vectores. Tengo algunas "pruebas convincentes" para los casos de $n=1,2,3$ (ver más abajo), pero no estoy seguro de cómo dar un riguroso argumento.

Tenga en cuenta que una "buena elección" de los vectores no tienen que ser de la forma de algunos de los vectores, y de las combinaciones lineales de ellos (creo que este es el método más eficiente, pero no veo cómo probar esto). Incluso si podemos demostrar que este es el caso, de lo que necesitamos para mostrar que no podemos hacer nada mejor que trabajar con bases ortonormales.

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El parcial "evidencia":

$n=1: k=1$. Obvio

$n=2: k=3$. Tome $V=W=\mathbb{R}^n$ con la calidad de su producto interior. A continuación, $T(e_1)=e_1, T(e_2)=\frac{e_1+e_2}{\sqrt 2}$ es un contra ejemplo.

$n=3: k=6$. A continuación, cualquier matriz de la forma $$ \begin{pmatrix} c & s & x \\ -s & c & y \\ 0 & 0 & z \\\end{pmatrix} $$ where $c^2+b^2=1,x^2+y^2+z^2=1, sx+cy=0$ preserves the norms $e_1,e_2,e_1+e_2,e_3,e_2+e_3$ but it's an isometry only if $|z|=1,x=y=0$.

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La prueba de que $k(n)=\frac{n(n+1)}{2}$ vectores son suficientes:

Tomando nota de que $$ \langle u,v \rangle = \frac{1}{2}(|u+v|^2 - |u|^2 - |v|^2) ,$$, obtenemos

$$ \langle Tv_i,Tv_j \rangle = \frac{1}{2}(|Tv_i+Tv_j|^2 - |Tv_i|^2 - |Tv_j|^2) = \frac{1}{2}(|T(v_i+v_j)|^2 - |v_i|^2 - |v_j|^2) $$ $$ = \frac{1}{2}(|v_i+v_j|^2 - |v_i|^2 - |v_j|^2) = \langle v_i,v_j \rangle,$$

por lo tanto $T$ es una isometría.

Answer 1

Deje $f:\mathbb R^n\to V$ $g:W\to\mathbb R^n$ ser cualquiera de los dos isometrías lineales. A continuación, $T$ es una isometría si y sólo si $g\circ T\circ f$ es una isometría. Así, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $V=W=\mathbb R^n$ equipada con el producto interior Euclidiano.

Deje $v_1,\ldots,v_k\in\mathbb R^n$ $k<\frac12n(n+1)$ arbitrariamente elegido vectores. Basta con exhibir la existencia de un no-isométrica transformación lineal $T$ $\mathbb R^n$ que conserva la norma de cada una de las $v_j$. Considere el sistema homogéneo de ecuaciones lineales $$ v_j^\la parte superior Av_j=0,\quad j=1,\ldots,k,\etiqueta{1} $$ donde el $n^2$ entradas de $A\in M_n(\mathbb R)$ son desconocidos. Desde el subespacio de todas las $n\times n$ skew-simétrica de las matrices tiene dimensión $\frac12n(n-1)<n^2-k$, el sistema de $(1)$ debe admitir una solución no trivial $A$ que no es sesgar-simétrica. Sin embargo, si $A$ es una solución, por lo que es $A+A^\top$. Por lo tanto, $(1)$ admite un trivial solución simétrica $A$.

Deje $P=I+\varepsilon A$ donde $\varepsilon>0$ es lo suficientemente pequeño. A continuación, $P$ es positiva definida. Definir $Tx=\sqrt{P}x$. A continuación, $T$ no es una isometría porque $\sqrt{P}$ no es real ortogonal. Sin embargo, para cada una de las $j$ hemos $$ \|Tv_j\|^2=v_j^\la parte superior Pv_j=v_j^\la parte superior(I+\varepsilon A)v_j=v_j^\la parte superior v_j=\|v_j\|^2. $$

Answer 2

Voy a tratar de explicar mi idea en el comentario. Conservar el producto escalar significa que las dos formas bilineales simétricas debe coincidir: $$(x,y) \mapsto \langle x,y \rangle$$ $$(x,y) \mapsto \langle Tx,Ty \rangle$$ Esto es equivalente a decir que sus matrices deben coincidir. Pero una matriz simétrica ha $\frac{n(n+1)}{2}$ grados de libertad.
Esto significa que, una vez que hemos elegido la base en $V$ debemos elegir los productos de $\langle v_i,v_j \rangle$$i \geq j$.

• Es eso suficiente? Sí, porque hemos elegido los coeficientes de la matriz con respecto a su base canónica (aquí me estoy tomando sobre la base de las matrices que tienen $1$ en uno de los componentes y $0$ en los demás, pero sólo para $i \geq j$ debido a que la matriz es simétrica).
• Podemos tomar menos? No, porque las matrices simétricas espacio tiene dimensión $\frac{n(n+1)}{2}$, como hemos dicho.

Cómo se relaciona esto con nuestra pregunta? La elección de una base para $V$ y, a continuación, estos productos es equivalente a elegir de la lista de vectores propuesto (junto con sus normas).
(I. e. La elección de una forma bilineal es equivalente a elegir el cuadrática foro de asociados, que en el caso de un producto escalar es la norma)