Hacer un conjunto en un colector de

Question

Vamos $n \in \mathbb{N}$, $M$ ser un conjunto y deje $\mathcal{A} = \{(\varphi_a, U_a)\}_{a \in \mathcal{A}}$ ser un sistema de tuplas de manera que:

$U_{a} \subseteq \mathbb{R}^n$ está abierto para todos los $a$;

$\varphi_a: U_a \to M$ es inyectiva para todo $a$, con la imagen denotada $V_a$;

$\varphi_a^{-1} \circ \varphi_b: \varphi_b^{-1}(V_a \cap V_b) \to \varphi_a^{-1}(V_a \cap V_b)$ es un homeomorphism para todos los $(a, b)$.

Pregunta: ¿se Puede, en general, a la conclusión de que existe una topología en $M$, de modo que $V_a$ está abierto en $M$ $\varphi_a: U_a \to V_a$ es un homeomorphism para todos los $a$?

Mis intentos: quería definir $U$ a ser abierta en $M$ si y sólo si $\varphi_a^{-1}(U \cap V_a)$ está abierto en $U_a$ todos los $a$. Claramente esta es una topología, y también todos los $\varphi_a$ es continua (independientemente de si lo vemos como un mapa a $V_a$ o M). Pero tengo problemas con el resto.

Por ejemplo: ¿por Qué es $V_a$ abierta en $M$? Hay algo que nos dice que $\varphi_b^{-1}(V_a \cap V_b)$ está abierto en $U_b$ todos los $b$?

Si la afirmación no es verdadera, entonces usted podría ayudarme a encontrar las condiciones que la hacen verdadera. La pregunta que surgió al intentar resolver un ejercicio que - grosso modo - dice que la tangente bundle $TM$ es un buen colector de al $M$ es uno.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es no. Por ejemplo, supongamos $X$ ser el cociente de $\mathbb{R}\times\{0,1\}$ obtenido por la identificación de $(q,0)$ $(q,1)$ por cada $q\in\mathbb{Q}$, y deje $\mathcal{A} \;=\; \{(\mathbb{R},\varphi_0),(\mathbb{R},\varphi_1)\}$ donde $\varphi_0$ $\varphi_1$ son las dos inclusiones obvio de $\mathbb{R}$. A continuación, $\varphi_0^{-1}\circ \varphi_1$ es el mapa de identidad en $\mathbb{Q}$, por lo que satisface las condiciones que has dado.

Sin embargo, no hay ninguna topología en $X$ que hace $\varphi_0$ $\varphi_1$ en homeomorphisms con abrir la imagen, ya que $\varphi_0^{-1}(V_0\cap V_1) = \mathbb{Q}$ no está abierto en $\mathbb{R}$.

Intuitivamente, lo que pasa es que usted necesita para colocar alguna restricción sobre la forma en la $U$'s se pegan si usted desea conseguir un colector. Basta exigir que $\varphi_a^{-1}(V_a\cap V_b)$ está abierto en $U_a$ por cada $a$$b$.