Infinito $p$ -la extensión contiene $\mathbb{Z}_p$ -extensión

Question

¿El grupo de Galois de cada infinito $p$ -extensión $K$ de un campo numérico $k$ contienen un subgrupo (cerrado) tal que el grupo cociente es isomorfo a $\mathbb{Z}_p$ ?

Mi sensación es "sí", pero no estoy seguro de que necesitemos la ampliación $K/k$ para ser abeliano. Mi intuición sería que la parte "infinita" de $Gal(K/k)$ proviene de al menos una copia de $\mathbb{Z}_p$ . ¿Estoy en lo cierto?

Gracias de antemano.

Actualización (21/11/2013) : En respuesta a la respuesta de Hunter, quiero preguntar, ¿en qué condiciones un $p$ -contienen el $\Bbb Z_p$ -¿extensión? Actualización (28/11/2013) : La pregunta anterior es posiblemente demasiado amplia y no tiene respuesta.

Answer 1

No, toma el compositum de todas las extensiones cuadráticas de $\mathbb{Q}$ Cada elemento del grupo de Galois es $2$ -torsión, por lo que esto no puede tener una copia de $\mathbb{Z}_2$ como un cociente. Si sólo se permite ramificar a un número finito de primos, entonces la respuesta es afirmativa (porque su grupo de Galois está entonces finitamente generado topológicamente, y ahora se apela a la teoría de la estructura de $p$ -grupos).