¿No está bien ordenado todo conjunto totalmente ordenado?

Question

Una orden de pozo es una orden total sobre un conjunto $S$ con la propiedad de que todo subconjunto no vacío de $S$ tiene un elemento mínimo. Pero seguramente se deduce de la definición de un orden total que cualquier subconjunto no vacío siempre tienen ¿un elemento mínimo porque todos son comparables? No veo cómo esto es una propiedad adicional

Answer 1

Estás pensando en subconjuntos finitos. Y es cierto, dado un subconjunto finito de un conjunto ordenado linealmente, es tiene un elemento mínimo (y máximo).

¿Pero qué pasa con los subconjuntos infinitos? ¿Qué pasa con $\Bbb Q$ por ejemplo, como un subconjunto de $\Bbb R$ o como un subconjunto de sí mismo?

Y más aún, tu argumento si te fijas bien, debería funcionar para el máximo. Cada dos elementos son comparables, entonces hay un elemento maximal a cada subconjunto no vacío. Pero seguramente se pueden encontrar órdenes lineales sin un elemento maximal, incluso así -órdenes sin un elemento máximo, por ejemplo $\Bbb N$ .

Answer 2

$\mathbb Z$ está totalmente ordenado por $\leq$ pero no está bien ordenado ya que no hay ningún elemento mínimo.

Answer 3

¿Qué le parece su conjunto favorito y más familiar totalmente ordenado? $\mathbb{R}$ ?

Answer 4

¿Y los números reales positivos? Cada dos son comparables, pero no hay el menor...

Answer 5

Toma un poco de orden total $(X,<)$ y alguna secuencia estrictamente decreciente $(a_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X$ . Ahora dime, ¿cuál es el elemento mínimo de $A:=\{a_n\mid n\in \mathbb N\}$ ?