Estoy un poco atascado en el Ejercicio III.5 de Lang Álgebra. (Página 166.)
Deje $A$ ser un subgrupo aditivo de espacio Euclidiano $\mathbb R^n$, y se supone que en cada región acotada del espacio, sólo hay un número finito de elementos de $A$. Mostrar que $A$ es un servicio gratuito de abelian grupo en $\leq n$ generadores.
[Sugerencia: Inducción sobre el número máximo de las linealmente independientes elementos de $A$$\mathbb R$. Deje $v_1, \ldots, v_m$ ser un máximo conjunto de tales elementos, y deje $A_0$ ser el subgrupo de $A$ contenida en el $\mathbb R$-espacio generado por $v_1, \ldots, v_{m-1}$. Por inducción, uno puede asumir que cualquier elemento de a $A_0$ es una combinación lineal entera de a $v_1, \ldots, v_{m-1}$. Deje $S$ ser el subconjunto de elementos $v \in A$ de la forma $v= a_1 v_1 + \cdots + a_m v_m$ con coeficientes reales $a_i$ satisfactorio $$ \begin{eqnarray*} 0 \leq a_i < 1, &\ \ \text{if } i=1,2,\ldots, m-1 \\ 0 \leq a_m \leq 1 .& \end{eqnarray*} $$ Si $v'_m$ es un elemento de $S$ con la menor de las $a_m \neq 0$, muestran que $\{ v_1, \ldots, v_{m-1}, v'_m \}$ es una base de $A$$\mathbb Z$.]
Siguiendo la sugerencia, supongo que $c_1v_1+\cdots+c_{m-1}v_{m-1}+c_mv'_m=0$$c_i\in\mathbb{Z}$. Entonces $$ c_1v_1+\cdots+c_{m-1}v_{m-1}+c_m(a_1v_1+\cdots+a_mv_m)=0 $$ implica $$ (c_1+a_mc_1)v_1+\cdots+(c_{m-1}+c_ma_{m-1})v_{m-1}+c_ma_mv_m=0. $$ Pero $v_1,\dots,v_m$ son linealmente independientes, por lo $c_ma_m=0$, lo $c_m=0$ desde $a_m\neq 0$. Entonces a partir de la $c_i+c_ma_i=0$ para todos los demás $i$, $c_i=0$ para $i=1,\dots,m-1$, y los vectores son linealmente independientes sobre $\mathbb{Z}$.
Estoy tratando de mostrar a $\{v_1,\dots,v_{m-1},v'_m\}$ también span $A$$\mathbb{Z}$. Desde $v_1,\dots,v_m$ es la máxima linealmente independientes, pienso que puedo escribir cualquier $x\in A$ $$ x=c_1v_1+\cdots+c_mv_m,\quad c_i\in\mathbb{R}. $$ Me di cuenta de $$ x=(\lfloor c_1\rfloor v_1+\cdots+\lfloor c_m\rfloor v_m)+(c'_1v_1+\cdots+c'_mv_m) $$ donde $\lfloor \cdot\rfloor$ es la función del suelo, y $0\leq c'_i<1$. Así que el segundo sumando entre paréntesis en $S$, y el primer sumando es una combinación lineal entera de a $v_1,\dots,v_m$. No estoy seguro de si esta observación conduce a ninguna parte, y no estoy seguro de que el hecho de que $A$ tiene sólo un número finito de elementos en cada región acotada del espacio. ¿Cuál es la manera correcta de proceder? Gracias.
Agregado: Con Arturo Magidin, $ka_m=c'_m$ para algún entero positivo $k$. Así $$ x=(\lfloor c_1\rfloor v_1+\cdots+\lfloor c_m\rfloor v_m)+k (c'_1/k)v_1+\cdots+a_mv_m), $$ así que tomando $v'_m=(c'_1/k)v_1+\cdots+a_mv_m$, $\{v_1,\dots,v_m,v'_m\}$ es un sistema generador de $A$$\mathbb{Z}$. ¿Cómo puedo mostrar a partir de esto que $\{v_1,\dots,v_{m-1},v'_m\}$ abarca $A$$\mathbb{Z}$?
