Ayuda para probar $\sum_{n\le x}{\ln{n}}=x\ln{x}-x+O(\ln{x})$

Question

Estoy aprendiendo un poco sobre la notación big O y me he encontrado con este ejercicio.

La notación utilizada es $$\sum_{n\le x}{\ln{n}}=x\ln{x}-x+O(\ln{x})$$ y asumo que es equivalente a $$\sum_{n=1}^{x}{\ln{n}}=x\ln{x}-x+O(\ln{x}).$$

Sé que $$\int_1^x{\ln{t}}\operatorname{dt}=x\ln{x}-x+1$$ así que siento que ya casi lo tengo, pero no estoy del todo segura de cómo establecer la conexión, en particular de cómo entra exactamente la gran O en todo esto.

Edito: Debo aclararlo, veo (he hecho un esquema rápido) que el sumatorio es un "rebasamiento" de la integral, y que la diferencia entre el sumatorio y la integral está acotada por algo , pero no estoy seguro de cómo conseguir que sea precisamente $\ln{x}$ .

Tampoco tengo ni idea de qué etiquetas usar, siéntete libre de cambiarlas.

Answer 1

Sugerencia: Estime la integral desde arriba y desde abajo con funciones escalonadas de tamaño de paso 1, luego reste las integrales de las dos funciones escalonadas.

Edita: He aquí más detalles, en respuesta a las preguntas formuladas en los comentarios. La estimación que se obtiene es (para un número entero $x$ ): $$\sum_{n=1}^{x-1}\ln n<\int_1^x\ln t\,dt<\sum_{n=2}^x\ln x.$$ Puede iniciar esta última suma en $n=1$ ya que el primer término es cero de todos modos, y evaluando la integral en el medio se puede reescribir todo esto como $$\Bigl(\sum_{n=1}^x\ln n\Bigr)-\ln x<x\ln x-x+1<\sum_{n=1}^x\ln x.$$ Quizá sea mejor reescribir la desigualdad de la izquierda y desplazarla a la derecha: $$x\ln x-x+1<\sum_{n=1}^x\ln x<x\ln x-x+1+\ln x,$$ y señalando que $1+\ln x=O(\ln x)$ como $x\to\infty$ . El extra $1$ no supone ninguna diferencia, ya que es insignificante en comparación con $\ln x$ de todos modos. Para ello, sólo necesita la estimación ridícula semana $1+\ln x<2\ln x$ que se cumple para $x>e$ .