¿Cómo probar esto $ \sqrt { \frac {a}{a+3b+5bc}}+ \sqrt { \frac {b}{b+3c+5ca}}+ \sqrt { \frac {c}{c+3a+5ab}} \geq 1.$

Question

Deje que $a,b,c$ ser números reales no negativos de tal manera que $a+b+c=3$ Demuestra que

$$ \sqrt { \frac {a}{a+3b+5bc}}+ \sqrt { \frac {b}{b+3c+5ca}}+ \sqrt { \frac {c}{c+3a+5ab}} \geq 1.$$

Este problema es de http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=52&t=555716

@Calvin Lin Gracias

Answer 1

Deje que $ \displaystyle A = \sqrt { \frac {a}{a+3b+5bc}}+ \sqrt { \frac {b}{b+3c+5ca}}+ \sqrt { \frac {c}{c+3a+5ab}}$ y $ \displaystyle B = \sum_ {cyc}a^2(a+3b+5bc)$ .

Entonces por la desigualdad de Hölder tenemos $A^2B \ge (a+b+c)^3 = 27$ .

Así que es suficiente para probar que $B \le 27$

$$B = \sum_ {cyc}a^3 + 3 \sum_ {cyc}a^2b+5 \sum_ {cyc}a^2bc$$

Como $ \displaystyle \sum_ {cyc}ab^2 \ge 3abc$ por AM-GM, tenemos

$$B \le \left ( \sum_ {cyc}a^3 + 3 \sum_ {cyc}a^2b + 3 \sum_ {cyc}ab^2 + 6abc \right ) - 15abc + 5 \sum_ {cyc}a^2bc \\ = (a+b+c)^3 - 5abc (3- \sum_ {cyc}a) = 27$$

Answer 2

Desde $a+b+c=3$ puedes reducir $f(a,b,c)$ a $f(3-b-c, b, c)$ . Con sólo 2 variables puedes hacer un gráfico en 3D y ver si llega abajo $1$ para $b+c \le3 $ . No es una prueba elegante, pero funciona. Si no hay nada más, al menos te mostrará dónde están las cajas de borde.

Answer 3

Sabemos el resultado único si la suma de dos números $a$ y $b$ es constante, el máximo de $ab$ ocurre cuando ambos $a$ y $b$ igual. Por ejemplo, si $a+b=6$ Entonces $ \max\ {ab\}=9$ . Usando este resultado, obtenemos pruebas.