¿Cómo puedo probar que este proceso aleatorio es el Movimiento Browniano Estándar?

Question

$B_t,t \ge 0$ es un movimiento browniano estándar. Entonces define $X(t)=e^{t/2}B_{1-e^{-t}}$ y $Y_t=X_t- \frac {1}{2} \int_0 ^t X_u du$ . La cuestión es mostrar que $Y_t, t \ge 0$ es un movimiento browniano estándar.

Traté de calcular la varianza de $Y_t$ por supuesto $t$ pero no pudo conseguir $t$ ..

Answer 1

Por cada no-negativo $t$ que $Z_t=B_{1- \mathrm e^{-t}}= \int\limits_0 ^{1- \mathrm e^{-t}} \mathrm dB_s$ . Luego $(Z_t)_{t \geqslant0 }$ es una martingala Browniana y $ \mathrm d \langle Z \rangle_t = \mathrm e^{-t} \mathrm dt$ por lo tanto existe un movimiento Browniano $( \beta_t )_{t \geqslant0 }$ a partir de $ \beta_0 =0$ de tal manera que $Z_t= \int\limits_0 ^t \mathrm e^{-s/2} \mathrm d \beta_s $ para cada no-negativo $t$ . En particular, $X_t= \mathrm e^{t/2} \int\limits_0 ^t \mathrm e^{-s/2} \mathrm d \beta_s $ y $$ \int\limits_0 ^tX_u \mathrm du= \int\limits_0 ^t \mathrm e^{u/2} \int\limits_0 ^u \mathrm e^{-s/2} \mathrm d \beta_s\mathrm du= \int\limits_0 ^t \mathrm e^{-s/2} \int\limits_s ^t \mathrm e^{u/2} \mathrm du \mathrm d \beta_s , $$ por lo tanto $$ \int\limits_0 ^tX_u \mathrm du= \int\limits_0 ^t \mathrm e^{-s/2}2( \mathrm e^{t/2}- \mathrm e^{s/2}) \mathrm d \beta_s =2 \mathrm e^{t/2} \int\limits_0 ^t \mathrm e^{-s/2} \mathrm d \beta_s -2 \beta_t =2X_t-2 \beta_t. $$ Esto prueba que $Y_t=X_t- \frac12\int\limits_0 ^tX_u \mathrm du= \beta_t $ y que $(Y_t)_{t \geqslant0 }$ es un movimiento Browniano estándar.

Answer 2

Calcular la covarianza $E(Y_s,Y_t)$ y es $min(s,t)$ . Pero el álgebra es realmente tediosa, me pregunto si hay otra manera más simple de mostrarla.