Resumen: la respuesta a La primera pregunta es no. Véase Robert Israel respuesta para el periódico caso.
Un almacén de la analítica de la función $f$ en la mitad superior del plano induce un almacén de la analítica de la función $\tilde f$ en la unidad de disco $D$ a través de la Cayley de transformación, de tal manera que si $f$ tiene una extensión continua a$\mathbb R$, $\tilde f$ tiene una extensión continua a $\partial D\setminus\{1\}$. Sin embargo, el uso de productos de Blaschke, uno puede dar ejemplos de limitada funciones analíticas en la unidad de disco que no tienen extensión. Todos delimitada funciones analíticas que han nontangential la limitación de los valores de una.e. en el límite, y en el caso de productos de Blaschke el límite de las funciones que vienen de estos límites han módulo de $1$.e. Por otro lado, el conjunto de ceros de un producto de Blaschke puede ser elegido para contener el límite en su cierre, por lo que cualquier extensión continua tendría que desaparecer en el límite, y por lo tanto no puede existir. Véase también Myke la pregunta relacionada con la en el caso de la disco.
Robert la respuesta israelí cubre el periódico caso, pero aquí es un hecho general sobre delimitada de la analítica de funciones periódicas que pueden ser útiles. En la página 183 de Gamelin del análisis Complejo que se muestra bajo una más débil de la hipótesis de que tales $f$ tiene un pointwise absolutamente convergente de expansión de la serie en el abierto de medio plano, $f(z)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_ke^{2\pi i kz}$, convergiendo de manera uniforme en cada semiplano $\mathrm{Im}\ z\geq \varepsilon>0$.
Usted puede encontrar mucho más en Garnett del Delimitada funciones analíticas. Por ejemplo, una condición necesaria y suficiente para una secuencia $(z_n)_n$ a ser el conjunto de ceros de algunos no constante delimitada de la analítica de la función en la mitad de plano es que $$\sum_n\frac{\mathrm{Im}\ z_n}{1+|z_n|^2}<\infty,$$ as seen on page 53 of Garnett. So the set of zeros of a nonconstant bounded analytic function can be chosen to contain $\mathbb R$ in its closure, implying that if there were a continuous extension it would have to vanish on $\mathbb R$. But in Section II.4 it is shown that the boundary function $f:\mathbb R\to\mathbb C$ of a nonconstant analytic function with continuous extension to the real line must satisfy $$\int_{\mathbb R}\frac{\log|f(t)|}{1+t^2}dt>-\infty,$$ implying that $f$ is nonvanishing off a set of measure $0$.
